Номер 410 — Алгебра 8 класс

(Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства √(2 2/3) = 2√(2/3), √(3 3/8) = 3√(3/8), √(4 4/15) = 4√(4/15). Выясните, каким должно быть соотношение между числами a и b, чтобы было верно равенство √(a + a/b) = a√(a/b), где a ∈ N и b ∈ N. 1) Возведите в квадрат обе части равенства. 2) Установите, каким должно быть соотношение между числами a и b. 3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.

1. Проверяем возведением в квадрат: 2 2/3 = 8/3 и (2√(2/3))² = 4 · 2/3 = 8/3 — верно; 3 3/8 = 27/8 и (3√(3/8))² = 9 · 3/8 = 27/8 — верно; 4 4/15 = 64/15 и (4√(4/15))² = 16 · 4/15 = 64/15 — верно. (Если в вашем издании записано √(3 2/3) = 3√(3/8), это опечатка: 11/3 ≠ 27/8, равенство неверно.)
2. 1) Возведём в квадрат обе части равенства √(a + a/b) = a√(a/b): a + a/b = a² · a/b, то есть (ab + a)/b = a³/b.
3. 2) Умножаем на b и делим на a ≠ 0: b + 1 = a², то есть b = a² − 1. Итак, равенство верно, когда b на единицу меньше квадрата числа a.
4. 3) Примеры: a = 2, b = 3: √(2 2/3) = 2√(2/3); a = 3, b = 8: √(3 3/8) = 3√(3/8); a = 4, b = 15: √(4 4/15) = 4√(4/15); a = 5, b = 24: √(5 5/24) = 5√(5/24).