Квадратные корни
📐 Алгебра · 8 класс
Что такое квадратный корень
Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого равен a. Если число при возведении в квадрат даёт 25, то оно является квадратным корнем из 25. Таких чисел два: 5 и −5, ведь и 5², и (−5)² равны 25.
Чтобы избежать неоднозначности, вводят понятие арифметического квадратного корня. Это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному. Обозначают его знаком радикала: запись «корень из 25» означает именно 5, а не −5.
Область определения
Под знаком корня может стоять только неотрицательное число. Корень из отрицательного числа в школьной алгебре не существует, потому что квадрат любого действительного числа не бывает отрицательным. Значит, выражение под радикалом всегда должно быть больше либо равно нулю — это первое, что проверяют при решении.
Основные свойства арифметического корня
| Свойство | Формула (словами) | Пример |
|---|---|---|
| Корень из произведения | корень из (a·b) = корень из a · корень из b | корень из 36 = корень из 4 · корень из 9 = 2·3 = 6 |
| Корень из дроби | корень из (a/b) = (корень из a)/(корень из b) | корень из (9/16) = 3/4 |
| Корень из квадрата | корень из (a²) = модуль a | корень из ((−7)²) = 7 |
| Квадрат корня | (корень из a)² = a при a ≥ 0 | (корень из 11)² = 11 |
Разбор примера
Вычислим значение выражения, используя свойства корней.
Задача: найти значение выражения корень из 144 + корень из (25/4) − корень из ((−6)²)
Шаг 1. Корень из 144 = 12, так как 12² = 144.
Шаг 2. Корень из (25/4) = (корень из 25)/(корень из 4) = 5/2 = 2,5.
Шаг 3. Корень из ((−6)²) = модуль (−6) = 6.
Шаг 4. Складываем и вычитаем: 12 + 2,5 − 6 = 8,5.
Ответ: 8,5
Частые ошибки. Нельзя писать, что корень из (a²) равен самому a — верно только «равен модулю a», иначе при отрицательном a получится неверный знак. Ещё одна типичная ошибка — «корень из суммы равен сумме корней»: это неправда, корень из (9+16) равен 5, а не 3+4=7. Свойства работают только для произведения и частного, но не для суммы и разности.
Где встречаются корни в жизни
Квадратный корень нужен всякий раз, когда по площади требуется найти длину. Если квадратный участок имеет площадь 49 квадратных метров, то длина его стороны равна корню из 49, то есть 7 метрам. Точно так же корни появляются в теореме Пифагора: длину наклонной стороны находят, извлекая корень из суммы квадратов двух других сторон. Поэтому умение быстро узнавать корни из точных квадратов — от 1 до 400 — очень полезный навык.
Когда корень не извлекается нацело
Большинство чисел не являются точными квадратами, и их корни — бесконечные непериодические дроби, то есть иррациональные числа. Корень из 2 приблизительно равен 1,41, но точно записать его обычной дробью нельзя. В таких случаях ответ оставляют в виде радикала: записать «корень из 2» точнее, чем округлять. Сравнивать иррациональные корни помогает простое правило: чем больше подкоренное число, тем больше и сам корень.
Кратко о главном
- Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению.
- Подкоренное выражение всегда должно быть больше либо равно нулю.
- Корень из произведения и из частного можно «разбивать» по множителям и делителям.
- Корень из квадрата равен модулю числа, а не самому числу.
- Корень из суммы не равен сумме корней — это распространённая ловушка.