Теорема Виета

Связь корней и коэффициентов

Теорема Виета устанавливает простую связь между корнями приведённого квадратного уравнения и его коэффициентами. Приведённым называют уравнение вида «икс в квадрате плюс p·x плюс q равно нулю», где старший коэффициент равен единице. Теорема позволяет находить корни устно и проверять уже найденные.

Формулировка

Если x1 и x2 — корни приведённого уравнения, то их сумма равна −p, а произведение равно q. То есть сумма корней противоположна второму коэффициенту, а произведение равно свободному члену. Для неприведённого уравнения сначала делят всё на старший коэффициент.

Величина	Чему равна	Пример для x² − 5·x + 6 = 0
Сумма корней	−p	5 (то есть −(−5))
Произведение корней	q	6
Сами корни	подбираем по сумме и произведению	2 и 3

Применение и разложение на множители

Зная корни, квадратный трёхчлен раскладывают на множители: «a·x² + b·x + c равно a·(x − x1)·(x − x2)». Это упрощает дроби и решение уравнений. Обратная теорема позволяет подбирать корни: ищут два числа, сумма которых −p, а произведение q.

Разбор примера

Задача: решить уравнение x² − 7·x + 12 = 0 по теореме Виета Шаг 1. Уравнение приведённое: p = −7, q = 12. Шаг 2. По теореме: x1 + x2 = 7, x1·x2 = 12. Шаг 3. Подбираем два числа: их произведение 12, сумма 7. Подходят 3 и 4 (3·4 = 12, 3 + 4 = 7). Шаг 4. Записываем разложение: x² − 7·x + 12 = (x − 3)·(x − 4). Ответ: x1 = 3, x2 = 4.

Частые ошибки. Главная путаница — со знаком суммы: сумма корней равна именно минус p, а не p. Если у произведения корней знак «минус», то корни разных знаков; если «плюс» — одного знака. Теорема в простом виде работает только для приведённого уравнения.

Как теорема ускоряет решение

Главное достоинство теоремы Виета — скорость. Когда коэффициенты невелики и целые, корни удаётся угадать за несколько секунд, не считая дискриминант. Для уравнения с положительным q и отрицательным p оба корня положительны, поэтому ищут два положительных множителя нужного произведения. Это особенно выручает на устном счёте и в задачах, где важна не громоздкая формула, а быстрый разумный ответ.

Знаки корней без вычислений

Теорема позволяет судить о знаках корней ещё до их нахождения. Если произведение корней положительно, значит корни одного знака, и тогда их общий знак подсказывает сумма. Если произведение отрицательно, корни обязательно разных знаков. Такой анализ полезен для проверки: если по условию задачи корни должны быть, скажем, оба положительными, а произведение получилось отрицательным, значит где-то закралась ошибка.

Кратко о главном

• Теорема Виета связывает корни приведённого уравнения с его коэффициентами.
• Сумма корней равна −p, произведение равно q.
• Для неприведённого уравнения сначала делят на старший коэффициент.
• Корни подбирают как два числа с нужными суммой и произведением.
• По корням трёхчлен раскладывается на множители вида a·(x − x1)·(x − x2).