Рациональные дроби

📐 Алгебра · 8 класс

Что такое рациональная дробь простыми словами

Рациональная дробь — это дробь, у которой и в числителе, и в знаменателе стоят многочлены (выражения с буквами и числами), а знаменатель не равен нулю. Например, x / (x + 1), (a² − 1) / a или 3 / (y − 2). Обычная числовая дробь вроде 3/4 — это частный случай рациональной дроби, где вместо многочленов стоят числа.

Ключевое слово здесь — «рациональная», то есть получаемая с помощью четырёх арифметических действий над буквами и числами: сложения, вычитания, умножения и деления. Если в выражении есть корень из переменной (√x) или переменная в показателе степени (2ˣ), это уже не рациональная дробь.

Какую дробь называют рациональной: примеры

Выражение	Рациональная дробь?	Почему
`(x + 3) / (x − 5)`	да	многочлен на многочлен
`5 / (2y + 1)`	да	число тоже многочлен (нулевой степени)
`(a² + 2ab + b²) / (a − b)`	да	многочлен на многочлен
`x² / 7`	да	это целое выражение — рациональная дробь без переменной в знаменателе
`√x / (x + 1)`	нет	в числителе корень из переменной
`3 / \|x\|`	нет	модуль переменной — не многочлен

Рациональные дроби делят на два вида: целые (в знаменателе нет переменной: x²/5) и дробные (переменная есть в знаменателе: 5/x²). Вместе их называют рациональными выражениями. В 8 классе основная работа идёт именно с дробными выражениями.

Область допустимых значений (ОДЗ)

Поскольку на ноль делить нельзя, нужно исключить те значения переменной, при которых знаменатель равен нулю. Множество остальных значений называют областью допустимых значений дроби. Её обязательно находят прежде, чем упрощать дробь или решать уравнение с ней.

x / (x − 4) — знаменатель равен нулю при x = 4, значит ОДЗ: все числа, кроме 4.
7 / (x² − 9) — x² − 9 = 0 при x = 3 и x = −3; ОДЗ: все числа, кроме ±3.
(x + 1) / (x² + 1) — x² + 1 никогда не равно нулю; ОДЗ: все числа.

Правило. Чтобы найти ОДЗ дроби, приравняйте знаменатель к нулю, решите уравнение и исключите полученные корни.

Основное свойство рациональной дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, получится дробь, тождественно равная исходной. Это то же самое свойство, что у обычных дробей: 2/4 = 1/2. На нём держатся два главных действия — сокращение и приведение к общему знаменателю.

a / b = (a · c) / (b · c), где b ≠ 0, c ≠ 0

Пример: x / (x + 2) = (x · 3) / ((x + 2) · 3) = 3x / (3x + 6). Дробь изменила вид, но её значение при любом допустимом x осталось прежним.

Сокращение рациональных дробей

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на их общий множитель. Для этого оба многочлена сначала раскладывают на множители, а потом одинаковые множители вычёркивают.

Разложите числитель и знаменатель на множители (вынесение общего множителя, формулы сокращённого умножения, группировка).
Найдите одинаковые множители.
Разделите на них и запишите результат.

Дробь	Разложение	Результат
`(x² − 4) / (x + 2)`	`(x − 2)(x + 2) / (x + 2)`	`x − 2`
`(3a + 3b) / (a² − b²)`	`3(a + b) / ((a − b)(a + b))`	`3 / (a − b)`
`(x² + 6x + 9) / (x² − 9)`	`(x + 3)² / ((x − 3)(x + 3))`	`(x + 3) / (x − 3)`
`(2x² − 8x) / (4x)`	`2x(x − 4) / (4x)`	`(x − 4) / 2`

Самая частая ошибка — сокращать слагаемые, а не множители. Из (x + 2) / 2 нельзя «вычеркнуть двойки» — сокращать можно только то, на что делится и весь числитель, и весь знаменатель.

Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы сложить или вычесть рациональные дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю. Общий знаменатель — это, как правило, произведение всех различных множителей знаменателей, взятых в наибольшей степени.

Разложите каждый знаменатель на множители.
Составьте общий знаменатель из всех множителей.
Для каждой дроби найдите дополнительный множитель — то, на что нужно домножить её знаменатель, чтобы получить общий.
Умножьте числитель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Пример: 1/(x − 1) и 2/(x² − 1). Второй знаменатель: (x − 1)(x + 1). Общий знаменатель — (x − 1)(x + 1). Дополнительный множитель первой дроби — (x + 1), второй — 1. Получаем (x + 1)/((x − 1)(x + 1)) и 2/((x − 1)(x + 1)).

Сложение и вычитание рациональных дробей

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают так: числители складывают (вычитают), знаменатель оставляют прежним. Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему.

a/c + b/c = (a + b)/c a/c − b/c = (a − b)/c

Разбор примера

Найдём 1/(x − 1) + 2/(x² − 1). Из предыдущего раздела: (x + 1)/((x − 1)(x + 1)) + 2/((x − 1)(x + 1)) = (x + 1 + 2)/((x − 1)(x + 1)) = (x + 3)/((x − 1)(x + 1)). ОДЗ: x ≠ ±1.

При вычитании не забывайте ставить скобки вокруг вычитаемого числителя: x/(x+1) − (x − 2)/(x+1) = (x − (x − 2))/(x + 1) = 2/(x + 1). Потеря скобок — вторая по частоте ошибка после неверного сокращения.

Умножение и деление рациональных дробей

Умножают дроби «числитель на числитель, знаменатель на знаменатель», делят — умножая на перевёрнутую (обратную) дробь. Перед перемножением полезно разложить всё на множители и сократить крест-накрест, чтобы не получать громоздких выражений.

a/b · c/d = (a · c)/(b · d) a/b : c/d = a/b · d/c = (a · d)/(b · c)

Пример: (x² − 4)/x · x²/(x + 2) = ((x − 2)(x + 2) · x²)/(x · (x + 2)) = x(x − 2) = x² − 2x. Перед сокращением мы разложили x² − 4 по формуле разности квадратов.

Возведение дроби в степень: возводят в степень и числитель, и знаменатель — (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.

Как решать задания с рациональными дробями: план

Найдите ОДЗ — выпишите значения, при которых любой знаменатель обращается в ноль.
Разложите все многочлены на множители. Без этого не видно, что сокращать и какой общий знаменатель.
Сократите каждую дробь по отдельности.
Выполните действия в правильном порядке: сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание; действия в скобках — первыми.
Сократите результат и проверьте, что ответ не противоречит ОДЗ.

Пример на все действия

Упростим (x/(x − 2) − 2/(x + 2)) · (x² − 4)/x. ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ ±2. В скобках общий знаменатель (x − 2)(x + 2): (x(x + 2) − 2(x − 2))/((x − 2)(x + 2)) = (x² + 2x − 2x + 4)/((x − 2)(x + 2)) = (x² + 4)/((x − 2)(x + 2)). Умножаем на (x − 2)(x + 2)/x — скобки сокращаются, остаётся (x² + 4)/x.

Типичные ошибки и как их избежать

Сокращение слагаемых. В (x² + x)/x нельзя вычеркнуть x только у первого слагаемого. Сначала вынесите x за скобки: x(x + 1)/x = x + 1.
Потеря ОДЗ. После сокращения (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 ограничение x ≠ 2 никуда не исчезает.
Знак при вычитании. Минус перед дробью относится ко всему числителю — берите его в скобки.
Неверный общий знаменатель. Перемножать знаменатели «в лоб» можно, но получится громоздко; лучше разложить и взять только различные множители.
Дробь в степени. (a/b)² — это a²/b², а не a²/b.

Задания для самопроверки

Найдите ОДЗ дроби (x + 5)/(x² − 25). Ответ: x ≠ ±5.
Сократите (a² − 6a + 9)/(a² − 9). Ответ: (a − 3)/(a + 3).
Выполните сложение 3/(x + 1) + 2/(x − 1). Ответ: (5x − 1)/((x + 1)(x − 1)).
Выполните умножение (2x)/(x − 3) · (x² − 9)/(4x²). Ответ: (x + 3)/(2x).
Упростите (x/(x + 1) − 1) · (x + 1). Ответ: −1.

Кратко о главном

Рациональная дробь — отношение двух многочленов; знаменатель не должен быть равен нулю.
ОДЗ находят до любых преобразований: приравнивают знаменатель к нулю и исключают корни.
Основное свойство: умножение или деление числителя и знаменателя на один ненулевой многочлен не меняет дробь.
Сокращают только множители, поэтому сначала раскладывают числитель и знаменатель.
Складывают и вычитают через общий знаменатель, умножают «числитель на числитель», делят — умножая на обратную дробь.

Следующая тема →

Действия с рациональными дробями