Рациональные дроби
📐 Алгебра · 8 класс
Что такое рациональная дробь
Рациональной дробью называют выражение, представляющее собой отношение двух многочленов, то есть дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены. Знаменатель при этом не должен обращаться в ноль. Простейшие примеры — выражения вида «икс делить на (икс плюс один)» или «(икс в квадрате минус один) делить на икс».
Область допустимых значений
Поскольку на ноль делить нельзя, нужно исключить те значения переменной, при которых знаменатель равен нулю. Множество остальных значений называют областью допустимых значений. Её обязательно находят прежде, чем упрощать дробь, иначе можно «потерять» запреты.
Основное свойство дроби
Числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение — значение дроби при этом не изменится. Именно на этом свойстве основано сокращение дробей: общий множитель числителя и знаменателя убирают.
| Действие | Что делаем | Условие |
|---|---|---|
| Сокращение | делим числитель и знаменатель на общий множитель | множитель не равен нулю |
| Сложение дробей | приводим к общему знаменателю | знаменатели не равны нулю |
| Умножение дробей | числитель на числитель, знаменатель на знаменатель | — |
| Деление дробей | умножаем на перевёрнутую дробь | делитель не равен нулю |
Разбор примера
Сократим дробь, предварительно разложив числитель и знаменатель на множители.
Задача: сократить дробь (x² − 9) / (x² + 3·x)
Шаг 1. Числитель — разность квадратов:
x² − 9 = (x − 3)·(x + 3).
Шаг 2. Знаменатель — выносим общий множитель:
x² + 3·x = x·(x + 3).
Шаг 3. Записываем область: знаменатель не ноль,
значит x не равен 0 и x не равен −3.
Шаг 4. Сокращаем общий множитель (x + 3):
получаем (x − 3)/x.
Ответ: (x − 3)/x при x ≠ 0 и x ≠ −3.
Частые ошибки. Нельзя сокращать слагаемые — сокращают только множители. Запись «(x + 3)/(x + 5)» нельзя превратить в «3/5», убрав иксы. Также важно не забывать про область: даже после сокращения запрет x ≠ −3 сохраняется.
Как складывать дроби с разными знаменателями
Чтобы сложить или вычесть дроби, их приводят к общему знаменателю. Для этого знаменатели раскладывают на множители и берут наименьший общий знаменатель, в который входит каждый множитель в наибольшей встречающейся степени. Затем каждую дробь домножают на недостающие множители. Только после приведения к общему знаменателю числители можно складывать. Этот приём — основа всех действий с дробно-рациональными выражениями.
Деление и «многоэтажные» дроби
При делении одной дроби на другую вторую дробь переворачивают и заменяют деление умножением. Иногда встречаются «многоэтажные» дроби, где в числителе или знаменателе стоит ещё одна дробь. Их упрощают, превращая в деление: главную дробную черту читают как знак деления. Главное при всех этих действиях — следить за областью допустимых значений и не допускать нуля ни в одном из знаменателей.
Кратко о главном
- Рациональная дробь — отношение двух многочленов с ненулевым знаменателем.
- Сначала находят область допустимых значений, приравнивая знаменатель к нулю.
- Основное свойство: числитель и знаменатель можно умножать или делить на одно ненулевое выражение.
- Сокращают только общие множители, но не отдельные слагаемые.
- Запреты на значения переменной сохраняются и после упрощения.