Условие
Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием BC взята такая точка M, что ∠MBC = 30°, ∠MCB = 10°. Найдите угол AMC, если ∠BAC = 80°.
Разбор задания
Номер 337 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 5. Четырёхугольники · страница 6
Решение
- ∠B = ∠C = (180° − 80°)/2 = 50°. Проведём AD — высоту, медиану и биссектрису; точка M не лежит на AD (∠MBC ≠ ∠MCB). Пусть O — точка пересечения луча BM с AD; по симметрии ∠OCB = ∠OBC = 30°, ∠BOC = 120°.
- △AOC = △AOB (AC = AB, AO общая, ∠CAO = ∠BAO = 40°), поэтому ∠AOC = ∠AOB = (360° − 120°)/2 = 120° и ∠ACO = ∠ABO = 50° − 30° = 20°. Точка M лежит на отрезке OB, значит ∠COM = ∠COB = 120° и ∠OCM = ∠OCB − ∠MCB = 30° − 10° = 20°.
- △ACO = △MCO по стороне CO и двум прилежащим углам (∠ACO = ∠MCO = 20°, ∠AOC = ∠MOC = 120°): AC = CM. В равнобедренном треугольнике ACM угол ACM = 50° − 10° = 40°, поэтому ∠AMC = (180° − 40°)/2 = 70°.
Ответ
70°
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →