Условие
Два квадрата со стороной a имеют одну общую вершину, причём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей части этих квадратов.
Разбор задания
Номер 523 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 6. Площадь · страница 42
Решение
- Пусть ABCD — первый квадрат, а у второго квадрата вершина A общая и сторона AK лежит на диагонали AC, AK = a. Так как AC = a√2 > a, точка K лежит внутри диагонали, KC = a√2 − a = a(√2 − 1).
- Сторона второго квадрата, выходящая из K, перпендикулярна AC. Она пересекает сторону CD в точке E. Общая часть квадратов — это треугольник ACD без треугольника KCE.
- Треугольник KCE прямоугольный (∠K = 90°) с острым углом ∠KCE = 45° (угол между диагональю и стороной квадрата), значит KE = KC = a(√2 − 1). S(KCE) = ½·KC² = ½a²(√2 − 1)² = ½a²(3 − 2√2).
- S(ACD) = ½a². Искомая площадь: ½a² − ½a²(3 − 2√2) = ½a²(2√2 − 2) = a²(√2 − 1).
Ответ
a²(√2 − 1).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →