Номер 612 — Геометрия 8 класс

Два шеста AB и CD разной длины a и b установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 210. Концы A и D, B и C соединены верёвками, которые пересекаются в точке O. По данным рисунка докажите, что: а) m/d = x/b и n/d = x/a; б) x/a + x/b = 1. Найдите x и докажите, что x не зависит от расстояния d между шестами AB и CD.

1. На рисунке A и C — основания шестов, AB = a, CD = b, AC = d, OK ⟂ AC — высота точки O над землёй, OK = x, AK = m, KC = n.
2. а) Прямоугольные треугольники AKO и ACD имеют общий острый угол A, значит подобны: OK/DC = AK/AC, то есть x/b = m/d. Прямоугольные треугольники CKO и CAB имеют общий угол C: OK/BA = KC/CA, то есть x/a = n/d.
3. б) Складываем: x/a + x/b = n/d + m/d = (m + n)/d = d/d = 1.
4. Из x/a + x/b = 1: x(a + b)/(ab) = 1, x = ab/(a + b). В формулу расстояние d не входит, значит высота точки пересечения верёвок от него не зависит.