Номер 613 — Геометрия 8 класс

Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, если: а) AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ = BM/B₁M₁, где BM и B₁M₁ — медианы треугольников; б) ∠A = ∠A₁, AC/A₁C₁ = BH/B₁H₁, где BH и B₁H₁ — высоты треугольников ABC и A₁B₁C₁.

1. а) M — середина AC, M₁ — середина A₁C₁, поэтому AM/A₁M₁ = AC/A₁C₁. Тогда у треугольников ABM и A₁B₁M₁ все три стороны пропорциональны: AB/A₁B₁ = AM/A₁M₁ = BM/B₁M₁, и они подобны по третьему признаку. Отсюда ∠A = ∠A₁.
2. Теперь у треугольников ABC и A₁B₁C₁ равны углы A и A₁, а стороны, их заключающие, пропорциональны: AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁. По второму признаку треугольники подобны.
3. б) Прямоугольные треугольники ABH и A₁B₁H₁ имеют равные острые углы при вершинах A и A₁ (если угол A тупой, то ∠BAH = 180° − ∠A = ∠B₁A₁H₁), значит подобны: AB/A₁B₁ = BH/B₁H₁ = AC/A₁C₁.
4. Итак, ∠A = ∠A₁ и AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ — треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по второму признаку.