Условие
Биссектриса внешнего угла при вершине A треугольника ABC пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что BD/AB = DC/AC.
Разбор задания
Номер 619 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 7. Подобные треугольники · страница 60
Решение
- Пусть AB > AC; тогда D лежит на продолжении BC за точку C. Пусть F — точка на продолжении BA за A, так что ∠CAF — внешний угол, и AD — его биссектриса: ∠FAD = ∠DAC.
- Через C проведём прямую, параллельную AD; она пересечёт AB в точке E. ∠AEC = ∠FAD (соответственные), ∠ACE = ∠DAC (накрест лежащие). Значит, ∠AEC = ∠ACE, треугольник AEC равнобедренный, AE = AC.
- В угле B параллельные прямые CE и DA отсекают пропорциональные отрезки: BE/EA = BC/CD. Тогда (BE + EA)/EA = (BC + CD)/CD, то есть AB/AE = BD/DC.
- Подставляя AE = AC: AB/AC = BD/DC, откуда BD/AB = DC/AC.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →