Условие
В треугольнике ABC (AB ≠ AC) через середину стороны BC проведена прямая, параллельная биссектрисе угла A, которая пересекает прямые AB и AC соответственно в точках D и E. Докажите, что BD = CE.
Разбор задания
Номер 620 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 7. Подобные треугольники · страница 61
Решение
- Пусть AL — биссектриса, M — середина BC, DE ∥ AL. ∠ADE = ∠BAL (соответственные) и ∠AED = ∠LAC (накрест лежащие), а ∠BAL = ∠LAC. Значит, ∠ADE = ∠AED, треугольник ADE равнобедренный: AD = AE.
- Через B проведём прямую, параллельную AC; она пересечёт прямую DE в точке F. Треугольники BMF и CME равны по стороне и двум прилежащим углам (BM = MC, ∠BMF = ∠CME — вертикальные, ∠MBF = ∠MCE — накрест лежащие). Поэтому BF = CE.
- В треугольнике BDF: ∠BFD = ∠AED (соответственные при BF ∥ AC) и ∠BDF = ∠ADE. Так как ∠ADE = ∠AED, получаем ∠BDF = ∠BFD, и BD = BF.
- Итак, BD = BF = CE.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →