Условие
Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.
Разбор задания
Номер 624 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 7. Подобные треугольники · страница 61
Решение
- Пусть медианы AA₁, BB₁, CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке O, S — площадь треугольника ABC.
- Медиана делит треугольник на два равновеликих (равные основания, общая высота). В частности, треугольники BOA₁ и COA₁ равновелики (BA₁ = A₁C, общая высота из O); аналогично S(COB₁) = S(AOB₁) и S(AOC₁) = S(BOC₁).
- Обозначим S(BOA₁) = S(COA₁) = x, S(COB₁) = S(AOB₁) = y, S(AOC₁) = S(BOC₁) = z. Из S(ABA₁) = S(ACA₁): 2z + x = 2y + x, откуда y = z. Из S(BCB₁) = S(BAB₁): 2x + y = 2z + y, откуда x = z.
- Итак, x = y = z = S/6 — все шесть треугольников имеют равные площади.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →