Условие
Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Разбор задания
Номер 927 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 11. Соотношения между сторонами и углами · страница 42
Решение
- Пусть a⃗{x₁; y₁} и b⃗{x₂; y₂} коллинеарны и a⃗ ≠ 0⃗. По лемме о коллинеарных векторах b⃗ = k·a⃗, значит x₂ = kx₁, y₂ = ky₁ — координаты пропорциональны (если a⃗ = 0⃗, то x₁ = y₁ = 0, и утверждение тривиально: x₁y₂ − x₂y₁ = 0).
- Обратное утверждение: если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого, то есть x₂ = kx₁, y₂ = ky₁ для некоторого k, то векторы коллинеарны.
- Доказательство: вектор k·a⃗ имеет координаты {kx₁; ky₁} = {x₂; y₂}, значит b⃗ = k·a⃗, а вектор, равный произведению a⃗ на число, коллинеарен a⃗.
Ответ
Доказано; обратное: пропорциональность координат влечёт коллинеарность.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →