Правильные многоугольники

Что такое правильный многоугольник

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Примеры: равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник. Чем больше сторон, тем больше правильный многоугольник похож на окружность.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и в него можно вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают. Этот общий центр называется центром правильного многоугольника. Правильные многоугольники окружают нас повсюду: пчелиные соты — это правильные шестиугольники, дорожные знаки бывают в форме правильного треугольника или восьмиугольника, а гайки и болты имеют шестигранную головку.

Углы и формулы

Сумма углов любого n-угольника равна 180°·(n − 2). Значит, каждый угол правильного n-угольника равен 180°·(n − 2) / n. С ростом числа сторон угол увеличивается, но всегда остаётся меньше 180°. У треугольника он наименьший — 60°, и постепенно приближается к развёрнутому, когда сторон становится очень много.

Многоугольник	Число сторон n	Каждый угол
Треугольник	3	60°
Квадрат	4	90°
Пятиугольник	5	108°
Шестиугольник	6	120°

Радиусы окружностей

Обозначим R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной (он же апофема, расстояние от центра до стороны), a — сторону. Они связаны формулами: a = 2R·sin(180°/n) и r = R·cos(180°/n). Периметр равен P = n·a, а площадь удобно считать как S = ½·P·r.

Почему так? Правильный многоугольник можно разбить на n одинаковых равнобедренных треугольников с вершиной в центре. Боковые стороны каждого треугольника равны R, основание — стороне a, а высота — апофеме r. Сложив площади всех таких треугольников, и получаем формулу S = ½·P·r. Этот приём разбиения на треугольники из центра очень полезен в задачах.

Пример

Правильный шестиугольник вписан в окружность радиуса R = 4. Особенность шестиугольника: его сторона равна радиусу, a = R = 4 (так как sin30° = 0,5 и a = 2R·0,5 = R). 1) Периметр: P = 6·a = 6·4 = 24. 2) Апофема: r = R·cos30° = 4·(√3/2) = 2√3. 3) Площадь: S = ½·P·r = ½·24·2√3 = 24√3 ≈ 41,6.

Запомни. У правильного многоугольника недостаточно, чтобы были равны только стороны или только углы — нужны оба условия. Ромб имеет равные стороны, но не правильный; прямоугольник имеет равные углы, но тоже не правильный. У шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности.

Кратко о главном

• Правильный многоугольник: все стороны и все углы равны.
• Каждый угол равен 180°·(n−2)/n.
• В него вписана и около него описана окружность с общим центром.
• Площадь удобно искать как S = ½·P·r, где r — апофема.
• Многоугольник разбивается на n равных треугольников из центра.