Длина окружности и площадь круга

Окружность, круг и число π

Окружность — это линия, все точки которой одинаково удалены от центра. Это расстояние называется радиусом R. Отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки окружности, — диаметр d, причём d = 2R. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, то есть сама линия вместе со всем, что внутри.

Число π — это отношение длины любой окружности к её диаметру. Оно одинаково для всех окружностей и приблизительно равно 3,14 (точнее 3,14159…). Число π иррационально: его нельзя записать точной десятичной дробью. Удивительно, что отношение длины к диаметру не зависит от размера окружности — оно одно и то же и для монеты, и для колеса, и для орбиты планеты. В вычислениях обычно берут π ≈ 3,14, а для грубых оценок — π ≈ 3.

Основные формулы

Величина	Формула	Пояснение
Длина окружности	C = 2πR или C = πd	«Периметр» окружности
Площадь круга	S = πR²	Растёт как квадрат радиуса
Длина дуги	L = πRn / 180	n — градусная мера дуги
Площадь сектора	S = πR²n / 360	Часть круга на угол n

Круговой сектор

Круговой сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними (как кусок пиццы). Его площадь — это доля от площади всего круга, пропорциональная центральному углу. Если угол равен 360°, получается весь круг; если 180° — половина круга; если 90° — четверть. Не путай сектор с сегментом: сегмент отсекается хордой, а сектор ограничен двумя радиусами.

Откуда берутся формулы

Идея простая — всё строится на пропорции. Полная окружность отвечает углу 360°. Значит, дуга в n градусов составляет долю n/360 от всей окружности, и её длина — такая же доля от 2πR. Точно так же сектор с углом n градусов занимает долю n/360 от площади всего круга πR². Поэтому достаточно запомнить две базовые формулы — C = 2πR и S = πR², а формулы дуги и сектора получаются из них умножением на n/360.

Пример

Радиус круга R = 10 см. Найти длину окружности, площадь круга и площадь сектора с углом 90°. Берём π ≈ 3,14. 1) Длина окружности: C = 2πR = 2·3,14·10 = 62,8 см. 2) Площадь круга: S = πR² = 3,14·10² = 3,14·100 = 314 см². 3) Сектор 90° — это четверть круга: S(сектора) = πR²·n/360 = 314·90/360 = 78,5 см².

Частые ошибки. Длина окружности зависит от радиуса в ПЕРВОЙ степени (2πR), а площадь — во ВТОРОЙ (πR²). Если радиус увеличить вдвое, длина вырастет в 2 раза, а площадь — в 4 раза. Ещё часто подставляют диаметр вместо радиуса в формулу площади.

Кратко о главном

• Число π — отношение длины окружности к диаметру, ≈ 3,14.
• Длина окружности: C = 2πR; площадь круга: S = πR².
• Сектор — доля круга по углу: S = πR²n/360.
• Длина зависит от радиуса линейно, площадь — квадратично.
• Сектор ограничен двумя радиусами, сегмент — хордой; их нельзя путать.