Преобразование подобия

Подобие и его смысл

Преобразование подобия — это преобразование плоскости, при котором все расстояния умножаются на одно и то же положительное число k, называемое коэффициентом подобия. Если k = 1, подобие превращается в движение, а фигура переходит в равную себе. При подобии фигура переходит в подобную ей: форма сохраняется, а размеры меняются в k раз. Таким образом, движение — это частный, самый простой случай подобия.

Подобные фигуры имеют равные соответственные углы, а соответственные стороны пропорциональны. Это и отличает подобие от равенства (движения): углы те же, но масштаб другой. С подобием мы встречаемся постоянно: фотография и её увеличенная копия, карта и местность, чертёж детали и сама деталь, модель здания и здание — всё это пары подобных фигур.

Гомотетия — главный пример подобия

Гомотетия с центром O и коэффициентом k — это преобразование, при котором каждая точка A переходит в такую точку A', что OA' = k·OA и точки лежат на одном луче из центра (при k > 0). Проще говоря, фигуру «раздувают» или «сжимают» относительно центра. При k > 1 фигура увеличивается, при 0 < k < 1 — уменьшается, при k < 0 ещё и переворачивается через центр.

Важное свойство: при гомотетии прямая переходит в параллельную ей прямую, отрезок — в параллельный отрезок, а любая фигура — в подобную ей. Именно поэтому работает проектор: лампа играет роль центра, а изображение на экране — это гомотетичное (увеличенное) изображение слайда. Любое преобразование подобия можно представить как гомотетию, за которой следует движение.

Свойство	Движение	Подобие (k≠1)
Углы	Сохраняются	Сохраняются
Длины	Сохраняются	Умножаются на k
Площади	Сохраняются	Умножаются на k²
Форма	Та же	Та же

Пример

Треугольник с вершинами A(2;0), B(4;0), C(2;3). Применим гомотетию с центром O(0;0) и k = 2: каждую координату умножаем на 2. A' = (4; 0), B' = (8; 0), C' = (4; 6). Стороны нового треугольника в 2 раза длиннее, а площадь в k² = 4 раза больше исходной. Проверим площадь: S = ½·основание·высоту, исходная = ½·2·3 = 3, новая = ½·4·6 = 12 = 4·3. Верно.

Важно не перепутать. При подобии длины меняются в k раз, а площади — в k² раз (объёмы в стереометрии — в k³). Частая ошибка — умножать площадь на k вместо k². Углы при подобии не меняются никогда.

Кратко о главном

• Подобие меняет все расстояния в k раз, сохраняя форму и углы.
• Гомотетия — растяжение/сжатие фигуры относительно центра.
• Подобные фигуры: углы равны, стороны пропорциональны.
• Длины меняются как k, площади — как k².
• При гомотетии прямая переходит в параллельную ей прямую.