Олимпиада по математике 7 класс — пригласительный этап ВсОШ 2023/2024: задания и ответы

7 класс Задача 7.1.1. Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻 — различные цифры от 0 до 7 — удовлетворяют равенству 𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸 = 𝐹𝐺𝐻. Найдите 𝐷𝐸, если 𝐴𝐵𝐶 = 146. (Запись 𝐴𝐵𝐶 означает трёхзначное число, состоящее из цифр 𝐴, 𝐵, 𝐶, аналогично устроены числа 𝐹𝐺𝐻 и 𝐷𝐸.)

Ответ: 57. Решение. Подставим вместо 𝐴𝐵𝐶 число 146 и запишем пример в столбик: +

1 4 6 𝐷𝐸 𝐹 𝐺𝐻

В качестве 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻 могут использоваться только цифры 0, 2, 3, 5, 7. Рассмотрим 𝐸. • Если 𝐸 = 0, то 𝐻 = 6 — но это противоречит тому, что 𝐶 = 6. • Если 𝐸 = 2, то 𝐻 = 8 — но такой цифры у нас нет. • Если 𝐸 = 3, то 𝐻 = 9 — но такой цифры у нас нет. • Если 𝐸 = 5, то 𝐻 = 1 — но это противоречит тому, что 𝐴 = 1. Методом исключения понимаем, что 𝐸 = 7: +

1 4 6 𝐷 7 𝐹𝐺 3

Так как числа не могут начинаться с нуля, ему может соответствовать только одна цифра — это цифра 𝐺: 1 4 6 + 𝐷 7 𝐹 0 3 Теперь нетрудно полностью восстановить пример: +

1 4 6 5 7 2 0 3

Вариант 7.1.2. Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻 — различные цифры от 0 до 7 — удовлетворяют равенству 𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸 = 𝐹𝐺𝐻.

Найдите 𝐷𝐸, если 𝐴𝐵𝐶 = 147. (Запись 𝐴𝐵𝐶 означает трёхзначное число, состоящее из цифр 𝐴, 𝐵, 𝐶, аналогично устроены числа 𝐹𝐺𝐻 и 𝐷𝐸.)

Ответ: 56. Вариант 7.1.3. Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻 — различные цифры от 0 до 7 — удовлетворяют равенству 𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸 = 𝐹𝐺𝐻. Найдите 𝐷𝐸, если 𝐴𝐵𝐶 = 157. (Запись 𝐴𝐵𝐶 означает трёхзначное число, состоящее из цифр 𝐴, 𝐵, 𝐶, аналогично устроены числа 𝐹𝐺𝐻 и 𝐷𝐸.)

Ответ: 46. Задача 7.2.1. На рисунке изображены лучи 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶, 𝑂𝐷, 𝑂𝐸, 𝑂𝐹 такие, что: • 𝑂𝐵 — биссектриса угла 𝐴𝑂𝐶; • 𝑂𝐸 — биссектриса угла 𝐷𝑂𝐹; • ∠𝐴𝑂𝐹 = 146∘ , ∠𝐶𝑂𝐷 = 42∘ . Сколько градусов составляет угол 𝐵𝑂𝐸?

Ответ: 94∘ . Решение. Найдём сумму углов 𝐴𝑂𝐵 и 𝐸𝑂𝐹: ∠𝐴𝑂𝐵 + ∠𝐸𝑂𝐹 =

∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐷𝑂𝐹 ∠𝐴𝑂𝐹 − ∠𝐶𝑂𝐷 146∘ − 42∘ + = = = 52∘ . 2 2 2 2

Теперь нетрудно найти искомый угол: ∠𝐵𝑂𝐸 = ∠𝐴𝑂𝐹 − (∠𝐴𝑂𝐵 + ∠𝐸𝑂𝐹) = 146∘ − 52∘ = 94∘ .

Вариант 7.2.2. На рисунке изображены лучи 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶, 𝑂𝐷, 𝑂𝐸, 𝑂𝐹 такие, что: • 𝑂𝐵 — биссектриса угла 𝐴𝑂𝐶; • 𝑂𝐸 — биссектриса угла 𝐷𝑂𝐹; • ∠𝐴𝑂𝐹 = 142∘ , ∠𝐶𝑂𝐷 = 42∘ . Сколько градусов составляет угол 𝐵𝑂𝐸?

Ответ: 92∘ . Вариант 7.2.3. На рисунке изображены лучи 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶, 𝑂𝐷, 𝑂𝐸, 𝑂𝐹 такие, что: • 𝑂𝐵 — биссектриса угла 𝐴𝑂𝐶; • 𝑂𝐸 — биссектриса угла 𝐷𝑂𝐹; • ∠𝐴𝑂𝐹 = 148∘ , ∠𝐶𝑂𝐷 = 44∘ . Сколько градусов составляет угол 𝐵𝑂𝐸?

Ответ: 96∘ . Вариант 7.2.4. На рисунке изображены лучи 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶, 𝑂𝐷, 𝑂𝐸, 𝑂𝐹 такие, что: • 𝑂𝐵 — биссектриса угла 𝐴𝑂𝐶;

• 𝑂𝐸 — биссектриса угла 𝐷𝑂𝐹; • ∠𝐴𝑂𝐹 = 148∘ , ∠𝐶𝑂𝐷 = 48∘ . Сколько градусов составляет угол 𝐵𝑂𝐸?

Ответ: 98∘ . Задача 7.3.1. Петя вписал все натуральные числа от 1 до 16 в клетки таблицы 4 × 4 так, что любые два числа, отличающиеся на 1, оказались в соседних по стороне клетках. Затем он стёр некоторые числа. Выберите все картинки, которые могли получиться:

Ответ: картинки №3 и №4. Решение. Покажем, как можно расставить числа на картинках №3 и №4.

Теперь докажем, что расстановки на остальных картинках невозможны. Для начала рассмотрим картинку №1. Применим для неё шахматную раскраску.

Если подобная расстановка чисел возможна, то • раз число 2 находится в чёрной клетке, то число 3 находится в белой клетке; • раз число 3 находится в белой клетке, то число 4 находится в чёрной клетке; • раз число 4 находится в чёрной клетке, то число 5 находится в белой клетке; • … • раз число 7 находится в белой клетке, то число 8 находится в чёрной клетке — но это противоречит условию. Теперь рассмотрим картинку №2.

Обратим внимание на число 14. Если бы такая расстановка была возможна, то рядом с числом 14 стояли бы числа 13 и 15, но рядом с ним есть только одно свободное место. Противоречие. Теперь рассмотрим картинку №5.

Если бы такая расстановка была возможна, то рядом с числом 4 стояли бы числа 3 и 5, но такое, очевидно, невозможно. Противоречие. Вариант 7.3.2. Петя вписал все натуральные числа от 1 до 16 в клетки таблицы 4 × 4 так, что любые два числа, отличающиеся на 1, оказались в соседних по стороне клетках. Затем он стёр некоторые числа. Выберите все картинки, которые могли получиться:

Ответ: Картинки №4 и №5. Вариант 7.3.3. Петя вписал все натуральные числа от 1 до 16 в клетки таблицы 4 × 4 так, что любые два числа, отличающиеся на 1, оказались в соседних по стороне клетках. Затем он стёр некоторые числа. Выберите все картинки, которые могли получиться:

Ответ: Картинки №3 и №5. Вариант 7.3.4. Петя вписал все натуральные числа от 1 до 16 в клетки таблицы 4 × 4 так, что любые два числа, отличающиеся на 1, оказались в соседних по стороне клетках. Затем он стёр некоторые числа. Выберите все картинки, которые могли получиться:

Ответ: Картинки №1 и №2. Задача 7.4.1. Братья Лёша и Саша решили добраться из дома до скейт-парка. Они вышли одновременно, но Лёша пошёл пешком со скейтом в руках, а Саша поехал на скейте. Известно, что Саша едет на скейте в 3 раза быстрее, чем Лёша идёт пешком со скейтом. Через некоторое время они одновременно поменяли способ передвижения: Лёша поехал на скейте, а Саша пошёл пешком. При этом скорость движения каждого из них изменилась в 2 раза: у Лёши увеличилась, а у Саши уменьшилась. Оказалось, что до скейт-парка они добрались одновременно. Сколько метров проехал на скейте Саша, если расстояние от дома до скейт-парка составляет 3300 метров?

Ответ: 1100. Решение. Пусть 𝑣 — скорость Лёши пешком, тогда 3𝑣 — скорость Саши на скейте. После смены способа передвижения скорость каждого из ребят изменилась в 2 раза, поэтому 2𝑣 — скорость Лёши на скейте, а 1,5𝑣 — скорость Саши пешком. Получается, что на втором 2𝑣 участке пути скорость Лёши была в 1,5𝑣 = 43 раза больше скорости Саши. Пусть Лёша прошёл пешком 𝑥 метров, тогда Саша проехал на скейте 3𝑥 метров. Затем Лёша преодолел свои оставшиеся (3300 − 𝑥) метров, а Саша — (3300 − 3𝑥) метров. В задаче требуется найти 3𝑥. Зная отношение скоростей ребят после смены способа передвижения, составляем пропорцию: 3300 − 𝑥 4 = ; 3300 − 3𝑥 3 9900 − 3𝑥 = 13200 − 12𝑥; 9𝑥 = 3300; 3𝑥 = 1100. Вариант 7.4.2. Братья Лёша и Саша решили добраться из дома до скейт-парка. Они вышли одновременно, но Лёша пошёл пешком со скейтом в руках, а Саша поехал на скейте. Известно, что Саша едет на скейте в 3 раза быстрее, чем Лёша идёт пешком со скейтом. Через некоторое время они одновременно поменяли способ передвижения: Лёша поехал на скейте, а Саша пошёл пешком. При этом скорость движения каждого из них изменилась в 2 раза: у Лёши увеличилась, а у Саши уменьшилась. Оказалось, что до скейт-парка они добрались одновременно. Сколько метров проехал на скейте Саша, если расстояние от дома до скейт-парка составляет 3600 метров?

Ответ: 1200. Вариант 7.4.3. Братья Лёша и Саша решили добраться из дома до скейт-парка. Они вышли одновременно, но Лёша пошёл пешком со скейтом в руках, а Саша поехал на скейте. Известно, что Саша едет на скейте в 3 раза быстрее, чем Лёша идёт пешком со скейтом. Через некоторое время они одновременно поменяли способ передвижения: Лёша поехал на скейте, а Саша пошёл пешком. При этом скорость движения каждого из них изменилась в 2 раза: у Лёши увеличилась, а у Саши уменьшилась. Оказалось, что до скейт-парка они добрались одновременно. Сколько метров проехал на скейте Саша, если расстояние от дома до скейт-парка составляет 2700 метров?

Ответ: 900. Вариант 7.4.4. Братья Лёша и Саша решили добраться из дома до скейт-парка. Они вышли одновременно, но Лёша пошёл пешком со скейтом в руках, а Саша поехал на скейте. Известно, что Саша едет на скейте в 3 раза быстрее, чем Лёша идёт пешком со скейтом. Через некоторое время они одновременно поменяли способ передвижения: Лёша поехал

на скейте, а Саша пошёл пешком. При этом скорость движения каждого из них изменилась в 2 раза: у Лёши увеличилась, а у Саши уменьшилась. Оказалось, что до скейт-парка они добрались одновременно. Сколько метров проехал на скейте Саша, если расстояние от дома до скейт-парка составляет 2400 метров?

Ответ: 800. Задача 7.5.1. Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 на рисунке удовлетворяют следующим условиям: • точки 𝐴, 𝐶, 𝐹 лежат на одной прямой; • 𝐴𝐵 = 𝐷𝐸 = 𝐹𝐶; • ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐷𝐸𝐶 = ∠𝐹𝐶𝐸; • ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐸𝐷𝐶 = ∠𝐶𝐹𝐸; • 𝐴𝐹 = 21, 𝐶𝐸 = 13. Найдите длину отрезка 𝐵𝐷.

Ответ: 5. Решение. Заметим, что треугольники 𝐴𝐵𝐶, 𝐷𝐸𝐶 и 𝐹𝐶𝐸 равны по второму признаку равенства треугольников. Поскольку ∠𝐷𝐸𝐶 = ∠𝐹𝐶𝐸, прямые 𝐷𝐸 и 𝐴𝐹 параллельны. Значит, ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐶𝐷𝐸 = ∠𝐶𝐴𝐵, поэтому все три треугольника — равнобедренные, и их боковые стороны равны 13. Осталось вычислить ответ: 𝐵𝐷 = 𝐵𝐶 − 𝐶𝐷 = 13 − 𝐴𝐶 = 13 − (𝐴𝐹 − 𝐶𝐹) = 13 − (21 − 13) = 5. Вариант 7.5.2. Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 на рисунке удовлетворяют следующим условиям:

• точки 𝐴, 𝐶, 𝐹 лежат на одной прямой; • 𝐴𝐵 = 𝐷𝐸 = 𝐹𝐶; • ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐷𝐸𝐶 = ∠𝐹𝐶𝐸; • ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐸𝐷𝐶 = ∠𝐶𝐹𝐸; • 𝐴𝐹 = 20, 𝐶𝐸 = 13. Найдите длину отрезка 𝐵𝐷.

Ответ: 6. Вариант 7.5.3. Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 на рисунке удовлетворяют следующим условиям: • точки 𝐴, 𝐶, 𝐹 лежат на одной прямой; • 𝐴𝐵 = 𝐷𝐸 = 𝐹𝐶; • ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐷𝐸𝐶 = ∠𝐹𝐶𝐸; • ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐸𝐷𝐶 = ∠𝐶𝐹𝐸; • 𝐴𝐹 = 23, 𝐶𝐸 = 15. Найдите длину отрезка 𝐵𝐷.

Ответ: 7. Вариант 7.5.4. Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 на рисунке удовлетворяют следующим условиям: • точки 𝐴, 𝐶, 𝐹 лежат на одной прямой; • 𝐴𝐵 = 𝐷𝐸 = 𝐹𝐶; • ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐷𝐸𝐶 = ∠𝐹𝐶𝐸; • ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐸𝐷𝐶 = ∠𝐶𝐹𝐸; • 𝐴𝐹 = 22, 𝐶𝐸 = 15. Найдите длину отрезка 𝐵𝐷.

Ответ: 8. Задача 7.6.1. В ряд стоит 10 коробок. В этих коробках лежат шарики двух цветов: красного и синего. В некоторых коробках все шарики могут быть одноцветными; пустых коробок

нет. Известно, что в каждой следующей коробке (в порядке слева направо) шариков не меньше, чем в предыдущей. Также известно, что нет двух коробок с одинаковым набором красных и синих шариков. Сколько синих и сколько красных шариков лежит в самой правой коробке, если суммарно во всех коробках 11 красных и 13 синих шариков?

Ответ: 1 красный шарик, 3 синих шарика. Решение. Среди всех коробок может быть: • максимум 2 коробки с одним шариком (в одной — красный шарик, в другой — синий), • максимум 3 коробки с двумя шариками (в одной — два красных шарика, в другой — красный и синий, в третьей — два синих), • максимум 4 коробки с тремя шариками (в одной — три красных шарика, в другой — два красных и синий, в третьей — красный и два синих, в четвёртой — три синих). Таким образом, в левых девяти коробках будет хотя бы 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 = 20 шариков. Тогда в самой правой коробке шариков не более 11 + 13 − 20 = 4. Но из рассуждений выше следует, что если в какой-то коробке 1, 2 или 3 шарика, то это одна из левых девяти коробок. Значит, в самой правой коробке должно быть в точности 4 шарика, а в левых девяти коробках — в точности 20 шариков. Нетрудно понять, что в левых девяти коробках лежат 10 красных и 10 синих шариков. Тогда в самой правой коробке будет 11 − 10 = 1 красный и 13 − 10 = 3 синих шарика. Вариант 7.6.2. В ряд стоит 10 коробок. В этих коробках лежат шарики двух цветов: красного и синего. В некоторых коробках все шарики могут быть одноцветными; пустых коробок нет. Известно, что в каждой следующей коробке (в порядке слева направо) шариков не меньше, чем в предыдущей. Также известно, что нет двух коробок с одинаковым набором красных и синих шариков. Сколько синих и сколько красных шариков лежит в самой правой коробке, если суммарно во всех коробках 10 красных и 14 синих шариков?

Ответ: 0 красных шариков, 4 синих шарика. Вариант 7.6.3. В ряд стоит 10 коробок. В этих коробках лежат шарики двух цветов: красного и синего. В некоторых коробках все шарики могут быть одноцветными; пустых коробок нет. Известно, что в каждой следующей коробке (в порядке слева направо) шариков не меньше, чем в предыдущей. Также известно, что нет двух коробок с одинаковым набором красных и синих шариков. Сколько синих и сколько красных шариков лежит в самой правой коробке, если суммарно во всех коробках 13 красных и 11 синих шариков?

Ответ: 3 красных шарика, 1 синий шарик.

Вариант 7.6.4. В ряд стоит 10 коробок. В этих коробках лежат шарики двух цветов: красного и синего. В некоторых коробках все шарики могут быть одноцветными; пустых коробок нет. Известно, что в каждой следующей коробке (в порядке слева направо) шариков не меньше, чем в предыдущей. Также известно, что нет двух коробок с одинаковым набором красных и синих шариков. Сколько синих и сколько красных шариков лежит в самой правой коробке, если суммарно во всех коробках 14 красных и 10 синих шариков?

Ответ: 4 красных шарика, 0 синих шариков. Задача 7.7.1. Семизначное натуральное число 𝑁 назовём интересным, если: • оно состоит из ненулевых цифр; • оно делится на 4; • любое число, получаемое из числа 𝑁 с помощью перестановки цифр, делится на 4. Сколько существует интересных чисел?

Ответ: 128. Решение. Воспользуемся признаком делимости на 4: число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4. В интересном числе можно переставлять цифры как угодно, и от этого делимость на 4 должна сохраняться. Отсюда следует, что в его записи нет нечётных цифр (иначе любую из них можно было бы поставить в конец, и полученное число не разделилось бы на 4). Переберём, на какие две ненулевые чётные цифры может заканчиваться интересное число. Как мы помним, двузначное число, образованное этими цифрами, делится на 4. • 24 — этот вариант не подходит, так как при перестановке двух последних цифр число будет заканчиваться на 42, а 42 не делится на 4; • 28 — этот вариант не подходит, так как при перестановке двух последних цифр число будет заканчиваться на 82, а 82 не делится на 4; • 44 — этот вариант подходит; • 48 — этот вариант подходит; • 64 — этот вариант не подходит, так как при перестановке двух последних цифр число будет заканчиваться на 46, а 46 не делится на 4; • 68 — этот вариант не подходит, так как при перестановке двух последних цифр число будет заканчиваться на 86, а 86 не делится на 4; • 84 — этот вариант подходит; • 88 — этот вариант подходит.

Отсюда следует, что интересное число может состоять только из цифр 4 и 8. Также очевидно, что любое число, каждая цифра которого равна 4 или 8, является интересным. Таким образом, каждая цифра семизначного интересного числа может принимать ровно 2 значения, и таких чисел ровно 27 = 128. Вариант 7.7.2. Восьмизначное натуральное число 𝑁 назовём интересным, если: • оно состоит из ненулевых цифр; • оно делится на 4; • любое число, получаемое из числа 𝑁 с помощью перестановки цифр, делится на 4. Сколько существует интересных чисел?

Ответ: 256. Вариант 7.7.3. Девятизначное натуральное число 𝑁 назовём интересным, если: • оно состоит из ненулевых цифр; • оно делится на 4; • любое число, получаемое из числа 𝑁 с помощью перестановки цифр, делится на 4. Сколько существует интересных чисел?

Ответ: 512. Задача 7.8.1. Действительные числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 таковы, что 𝑎𝑏 ⎧ 𝑎 + 𝑏 = 2, ⎪ ⎪ 𝑏𝑐 = 5, ⎨𝑏 + 𝑐 ⎪ ⎪ 𝑐𝑎 ⎩ 𝑐 + 𝑎 = 9. Найдите значение выражения

𝑎𝑏𝑐 . 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎

Ответ: 180 . 73 Решение. Заметим, что 1 1 𝑎+𝑏 1 1 𝑏+𝑐 1 1 𝑐+𝑎 + = , + = , + = 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑏 𝑐 𝑏𝑐 𝑐 𝑎 𝑐𝑎 1 1 1 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 и + + = . 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐

Значит, если мы заменим данные равенства на равенства обратных величин, получится 1 1 1 ⎧𝑎 + 𝑏 = 2, ⎪ ⎪1 1 1 + = , ⎨𝑏 𝑐 5 ⎪ 1 ⎪1 1 ⎩ 𝑐 + 𝑎 = 9. А величина, которую нам нужно найти, обратна к 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = ( + + + + + )= 𝑎 𝑏 𝑐 2 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 𝑐 𝑎 1 1 1 1 45 + 18 + 10 73 = ( + + )= = . 2 2 5 9 2 ⋅ 90 180 Вариант 7.8.2. Действительные числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 таковы, что 𝑎𝑏 ⎧ 𝑎 + 𝑏 = 3, ⎪ ⎪ 𝑏𝑐 = 5, ⎨𝑏 + 𝑐 ⎪ ⎪ 𝑐𝑎 ⎩ 𝑐 + 𝑎 = 8. Найдите значение выражения

𝑎𝑏𝑐 . 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎

Ответ: 240 . 79 Вариант 7.8.3. Действительные числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 таковы, что 𝑎𝑏 ⎧ 𝑎 + 𝑏 = 2, ⎪ ⎪ 𝑏𝑐 = 5, ⎨𝑏 + 𝑐 ⎪ 𝑐𝑎 ⎪ ⎩ 𝑐 + 𝑎 = 7. Найдите значение выражения

𝑎𝑏𝑐 . 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎

Ответ: 140 . 59 Вариант 7.8.4. Действительные числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 таковы, что 𝑎𝑏 ⎧ 𝑎 + 𝑏 = 4, ⎪ ⎪ 𝑏𝑐 = 5, ⎨𝑏 + 𝑐 ⎪ ⎪ 𝑐𝑎 ⎩ 𝑐 + 𝑎 = 7.

Найдите значение выражения

Ответ: 280 . 83

𝑎𝑏𝑐 . 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎