Олимпиада по математике 8 класс — пригласительный этап ВсОШ 2023/2024: задания и ответы

8 класс Задача 8.1.1. Дима и Серёжа собирали ягоды с куста малины, на котором росло 900 ягод. Дима при сборе ягод чередовал действия: одну ягоду он клал в корзину, а следующую ел. Серёжа тоже чередовал: две ягоды он клал в корзину, а одну следующую ел. Известно, что Дима срывает ягоды в 2 раза быстрее Серёжи. В какой-то момент ребята собрали всю малину с куста. Кто из них в итоге положил в корзину больше ягод? Чему будет равна разница?

Ответ: Дима, на 100 ягод больше. Решение. Пока Дима срывает 6 ягод, Серёжа успевает сорвать только 3. При этом Дима из своих 6 ягод кладёт в корзину только 3, а Серёжа из своих 3 — только 2. Получается, что среди каждых сорванных 6 + 3 = 9 ягод ровно 3 в корзину кладёт Дима, а ровно 2 — Серёжа. Тогда всего Дима положит в корзину 93 ⋅ 900 = 300 ягод, а Серёжа — 2 ⋅ 900 = 200 ягод. Значит, Дима положит на 300 − 200 = 100 ягод больше. 9

Вариант 8.1.2. Дима и Серёжа собирали ягоды с куста малины, на котором росло 900 ягод. Серёжа при сборе ягод чередовал действия: одну ягоду он клал в корзину, а следующую ел. Дима тоже чередовал: две ягоды он клал в корзину, а одну следующую ел. Известно, что Серёжа срывает ягоды в 2 раза быстрее Димы. В какой-то момент ребята собрали всю малину с куста. Кто из них в итоге положил в корзину больше ягод? Чему будет равна разница?

Ответ: Серёжа, на 100 ягод больше. Вариант 8.1.3. Дима и Серёжа собирали ягоды с куста малины, на котором росло 450 ягод. Дима при сборе ягод чередовал действия: одну ягоду он клал в корзину, а следующую ел. Серёжа тоже чередовал: две ягоды он клал в корзину, а одну следующую ел. Известно, что Дима срывает ягоды в 2 раза быстрее Серёжи. В какой-то момент ребята собрали всю малину с куста. Кто из них в итоге положил в корзину больше ягод? Чему будет равна разница?

Ответ: Дима, на 50 ягод больше.

Вариант 8.1.4. Дима и Серёжа собирали ягоды с куста малины, на котором росло 450 ягод. Серёжа при сборе ягод чередовал действия: одну ягоду он клал в корзину, а следующую ел. Дима тоже чередовал: две ягоды он клал в корзину, а одну следующую ел. Известно, что Серёжа срывает ягоды в 2 раза быстрее Димы. В какой-то момент ребята собрали всю малину с куста. Кто из них в итоге положил в корзину больше ягод? Чему будет равна разница?

Ответ: Серёжа, на 50 ягод больше. Задача 8.2.1. Дана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶). Оказалось, что ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐷. Найдите длину отрезка 𝐵𝐷, если 𝐵𝐶 = 36 и 𝐴𝐷 = 64.

Ответ: 48. Решение. Поскольку 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶, имеем ∠𝐶𝐵𝐷 = ∠𝐵𝐷𝐴. Тогда треугольники 𝐴𝐵𝐷 и 𝐷𝐶𝐵 64 подобны по первому признаку. Следовательно, 𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 = 𝐵𝐷 = 𝐵𝐷 , откуда находим 𝐵𝐷 𝐵𝐶 36 𝐵𝐷 = √64 ⋅ 36 = 48. Вариант 8.2.2. Дана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶). Оказалось, что ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐷. Найдите длину отрезка 𝐵𝐷, если 𝐵𝐶 = 36 и 𝐴𝐷 = 81.

Ответ: 54. Вариант 8.2.3. Дана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶). Оказалось, что ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐷. Найдите длину отрезка 𝐵𝐷, если 𝐵𝐶 = 49 и 𝐴𝐷 = 64.

Ответ: 56. Вариант 8.2.4. Дана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶). Оказалось, что ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐷. Найдите длину отрезка 𝐵𝐷, если 𝐵𝐶 = 49 и 𝐴𝐷 = 81.

Ответ: 63. Задача 8.3.1. В качестве домашнего упражнения Тане задали придумать 20 примеров вида ∗ + ∗ = ∗, где вместо ∗ нужно вставлять различные натуральные числа (т. е. всего должно использоваться 60 различных чисел). Таня очень любит простые числа, поэтому решила использовать их как можно больше, и чтобы при этом получались правильные примеры. Какое наибольшее количество простых чисел может использовать Таня?

Ответ: 41. Решение. Заметим, что в каждом примере вместо звёздочек не могут использоваться три нечётных числа, т. е. должно использоваться хотя бы одно чётное число. Существует ровно одно чётное простое число — это 2. Следовательно, среди 60 различных чисел в примерах будет использоваться хотя бы 19 чётных составных, а простых может быть не более 41. Как известно, простых чисел бесконечно много. Покажем, как можно составить примеры, чтобы в них участвовало ровно 41 простое число. • 2 + 3 = 5 — используются 3 простых числа; • 7 + 11 = 18 — используются 2 простых числа; • 13 + 17 = 30 — используются 2 простых числа;

• 19 + 23 = 42 — используются 2 простых числа; • в каждом следующем примере в левой части используются два следующих по величине простых числа. Все 60 чисел в таких 20 примерах будут различны: все нечётные числа — это различные простые, а чётные, кроме 2 — это суммы, которые возрастают при переходе от предыдущего примера к следующему, и поэтому не могут повториться. Вариант 8.3.2. В качестве домашнего упражнения Тане задали придумать 10 примеров вида ∗ + ∗ = ∗, где вместо ∗ нужно вставлять различные натуральные числа (т. е. всего должно использоваться 30 различных чисел). Таня очень любит простые числа, поэтому решила использовать их как можно больше, и чтобы при этом получались правильные примеры. Какое наибольшее количество простых чисел может использовать Таня?

Ответ: 21. Вариант 8.3.3. В качестве домашнего упражнения Тане задали придумать 30 примеров вида ∗ + ∗ = ∗, где вместо ∗ нужно вставлять различные натуральные числа (т. е. всего должно использоваться 90 различных чисел). Таня очень любит простые числа, поэтому решила использовать их как можно больше, и чтобы при этом получались правильные примеры. Какое наибольшее количество простых чисел может использовать Таня?

Ответ: 61. Вариант 8.3.4. В качестве домашнего упражнения Тане задали придумать 40 примеров вида ∗ + ∗ = ∗, где вместо ∗ нужно вставлять различные натуральные числа (т. е. всего должно использоваться 120 различных чисел). Таня очень любит простые числа, поэтому решила использовать их как можно больше, и чтобы при этом получались правильные примеры. Какое наибольшее количество простых чисел может использовать Таня?

Ответ: 81. Задача 8.4.1. Прямоугольник разрезали на шесть меньших прямоугольников, площади пяти из них обозначены на рисунке. Найдите площадь оставшегося прямоугольника.

Ответ: 101. Решение. Введём обозначения так, как показано на рисунке.

161 126 𝐷

20 𝐺

63 𝐽

40 𝐾

и 2=

𝑆 126 𝐵𝐻 ⋅ 𝐺𝐻 𝐵𝐻 = 𝐴𝐵𝐻𝐺 = = . 63 𝑆 𝐺𝐻𝐾𝐽 𝐻𝐾 ⋅ 𝐺𝐻 𝐻𝐾

Заметим, что 2=

𝑆 40 𝐻𝐾 ⋅ 𝐻𝐼 𝐻𝐾 = 𝐻𝐼𝐿𝐾 = = 20 𝑆 𝐷𝐸𝐼𝐻 𝐻𝐷 ⋅ 𝐻𝐼 𝐻𝐷

Поэтому если 𝐻𝐷 = 𝑥, то 𝐻𝐾 = 2𝑥, a 𝐵𝐻 = 4𝑥. Отсюда сразу следует, что 𝐵𝐷 = 3𝑥 = 𝐷𝐾.

3𝑥

161

126 𝐷

𝑥 𝐺

20

63 𝐽

40

2𝑥 𝐾

Получаем, что прямоугольники 𝐵𝐶𝐹𝐷 и 𝐷𝐹𝑀𝐾 равны, как и их площади. Значит, 𝑆 𝐸𝐹𝑀𝐿 = 𝑆 𝐷𝐹𝑀𝐾 − 𝑆 𝐷𝐸𝐼𝐻 − 𝑆 𝐻𝐼𝐿𝐾 = 161 − 20 − 40 = 101. Вариант 8.4.2. Прямоугольник разрезали на шесть меньших прямоугольников, площади пяти из них обозначены на рисунке. Найдите площадь оставшегося прямоугольника.

Ответ: 103. Вариант 8.4.3. Прямоугольник разрезали на шесть меньших прямоугольников, площади пяти из них обозначены на рисунке. Найдите площадь оставшегося прямоугольника.

Ответ: 107. Вариант 8.4.4. Прямоугольник разрезали на шесть меньших прямоугольников, площади пяти из них обозначены на рисунке. Найдите площадь оставшегося прямоугольника.

Ответ: 109. Задача 8.5.1. В клетках таблицы 12 × 12 расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице? (Неугловыми называются клетки, находящиеся не в углу таблицы. Их ровно 140.)

Ответ: 11. Решение. Для начала приведём пример с расстановкой 11 различных чисел.

Теперь докажем, что в любой расстановке, удовлетворяющей условию, различных чисел хотя бы 11. Будем рисовать между клетками стрелки: если в двух соседних по стороне клетках находятся различные числа, то нарисуем стрелку от большего числа к меньшему. По условию из каждой неугловой клетки выходит хотя бы одна стрелка. Рассмотрим клетку, находящуюся в 6-й строке и 6-м столбце (одну из четырёх «центральных» клеток). Будем строить ориентированный маршрут, начинающийся в ней: будем последовательно идти из клетки по любой из стрелок, выходящих из неё. Поскольку клеток в таблице конечное количество, мы либо когда-нибудь придём в клетку, в которой уже были (очевидно, такое невозможно, ведь числа в клетках нашего маршрута постоянно уменьшаются), либо придём в угловую клетку. Но чтобы дойти до угловой клетки, необходимо не менее 5 раз сменить строку и не менее 5 раз сменить столбец, то есть сделать не менее 5 + 5 = 10 ходов. Следовательно, наш ориентированный маршрут проходит хотя бы по 11 клеткам, и все числа в них, очевидно, различны. Вариант 8.5.2. В клетках таблицы 14 × 14 расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице? (Неугловыми называются клетки, находящиеся не в углу таблицы. Их ровно 192.)

Ответ: 13. Вариант 8.5.3. В клетках таблицы 16 × 16 расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся

соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице? (Неугловыми называются клетки, находящиеся не в углу таблицы. Их ровно 252.)

Ответ: 15. Вариант 8.5.4. В клетках таблицы 18 × 18 расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице? (Неугловыми называются клетки, находящиеся не в углу таблицы. Их ровно 320.)

Ответ: 17. Задача 8.6.1. Чётные натуральные числа 𝑎 и 𝑏 таковы, что НОД(𝑎, 𝑏) + НОК(𝑎, 𝑏) = 223 . Сколько различных значений может принимать НОК(𝑎, 𝑏)?

Ответ: 22. Решение. Заметим, что НОК(𝑎, 𝑏) ⫶ НОД(𝑎, 𝑏), поэтому 223 = НОД(𝑎, 𝑏) + НОК(𝑎, 𝑏) ⫶ НОД(𝑎, 𝑏). Отсюда следует, что НОД(𝑎, 𝑏) — это натуральный делитель числа 223 . При этом НОД(𝑎, 𝑏) ≠ 1 (ведь 𝑎 и 𝑏 — чётные числа), а также НОД(𝑎, 𝑏) ≠ 223 (ведь НОД(𝑎, 𝑏) = 223 − НОК(𝑎, 𝑏) < 223 ). Таким образом, НОД(𝑎, 𝑏) принимает одно из значений 2, 22 , 23 , …, 222 . Отметим, что все эти значения возможны: чтобы НОД(𝑎, 𝑏) был равен 2𝑘 для 1 ⩽ 𝑘 ⩽ 22, достаточно выбрать 𝑎 = 2𝑘 и 𝑏 = 223 − 2𝑘 . В этом случае 𝑏 ⫶ 𝑎, поэтому НОД(𝑎, 𝑏) = 𝑎 и НОК(𝑎, 𝑏) = 𝑏, то есть НОД(𝑎, 𝑏) + НОК(𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏 = 223 . Вариант 8.6.2. Чётные натуральные числа 𝑎 и 𝑏 таковы, что НОД(𝑎, 𝑏) + НОК(𝑎, 𝑏) = 224 . Сколько различных значений может принимать НОК(𝑎, 𝑏)?

Ответ: 23. Вариант 8.6.3. Чётные натуральные числа 𝑎 и 𝑏 таковы, что НОД(𝑎, 𝑏) + НОК(𝑎, 𝑏) = 225 . Сколько различных значений может принимать НОК(𝑎, 𝑏)?

Ответ: 24. Вариант 8.6.4. Чётные натуральные числа 𝑎 и 𝑏 таковы, что НОД(𝑎, 𝑏) + НОК(𝑎, 𝑏) = 226 . Сколько различных значений может принимать НОК(𝑎, 𝑏)?

Ответ: 25. Задача 8.7.1. Дана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐵𝐶 ∥ 𝐴𝐷). Точка 𝐻 на стороне 𝐴𝐵 такова, что ∠𝐷𝐻𝐴 = 90∘ . Известно, что 𝐶𝐻 = 𝐶𝐷 = 13 и 𝐴𝐷 = 19. Найдите длину отрезка 𝐵𝐶.

Ответ: 9.5. Решение. Продлим лучи 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 до пересечения в точке 𝑋 (см. рисунок).

𝐻 𝐴

Рисунок к решению задачи 8.7.1 В равнобедренном треугольнике 𝐻𝐶𝐷 имеем ∠𝐶𝐻𝐷 = ∠𝐶𝐷𝐻. В прямоугольном треугольнике 𝑋𝐻𝐷 имеем ∠𝐻𝑋𝐷 = 90∘ − ∠𝑋𝐷𝐻 = 90∘ − ∠𝐶𝐻𝐷 = ∠𝑋𝐻𝐶. Следовательно, треугольник 𝑋𝐻𝐶 — равнобедренный, и 𝐶𝑋 = 𝐶𝐻 = 𝐶𝐷. Тогда в треугольнике 𝐴𝑋𝐷 отрезок 𝐵𝐶 является средней линией (ведь 𝐵𝐶 ∥ 𝐴𝐷, и точка 𝐶 является серединой отрезка 𝑋𝐷) , поэтому 𝐵𝐶 = 12 𝐴𝐷 = 9.5. Вариант 8.7.2. Дана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐵𝐶 ∥ 𝐴𝐷). Точка 𝐻 на стороне 𝐴𝐵 такова, что ∠𝐷𝐻𝐴 = 90∘ . Известно, что 𝐶𝐻 = 𝐶𝐷 = 11 и 𝐴𝐷 = 17. Найдите длину отрезка 𝐵𝐶.

Ответ: 8.5. Вариант 8.7.3. Дана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐵𝐶 ∥ 𝐴𝐷). Точка 𝐻 на стороне 𝐴𝐵 такова, что ∠𝐷𝐻𝐴 = 90∘ . Известно, что 𝐶𝐻 = 𝐶𝐷 = 13 и 𝐴𝐷 = 21. Найдите длину отрезка 𝐵𝐶.

Ответ: 10.5. Вариант 8.7.4. Дана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐵𝐶 ∥ 𝐴𝐷). Точка 𝐻 на стороне 𝐴𝐵 такова, что ∠𝐷𝐻𝐴 = 90∘ . Известно, что 𝐶𝐻 = 𝐶𝐷 = 13 и 𝐴𝐷 = 23. Найдите длину отрезка 𝐵𝐶.

Ответ: 11.5. Задача 8.8.1. Различные положительные числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 таковы, что ⎧

𝑎2 + 𝑏𝑐 = 115,

𝑏2 + 𝑎𝑐 = 127, ⎨ 2 ⎩𝑐 + 𝑎𝑏 = 115. Найдите 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.

Ответ: 22. Решение. Вычтем из первого равенства третье и преобразуем: (𝑎2 + 𝑏𝑐) − (𝑐2 + 𝑎𝑏) = 0, 𝑎2 − 𝑐2 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑏 = 0, (𝑎 − 𝑐)(𝑎 + 𝑐) + 𝑏(𝑐 − 𝑎) = 0, (𝑎 − 𝑐)(𝑎 + 𝑐 − 𝑏) = 0. По условию 𝑎 ≠ 𝑐, поэтому 𝑏 = 𝑎 + 𝑐. Теперь сложим два первых равенства: (𝑎2 + 𝑏𝑐) + (𝑏2 + 𝑎𝑐) = 115 + 127, (𝑎2 + 𝑏𝑐) + (𝑏2 + 𝑎𝑐) = 242. Подставим в получившееся равенство 𝑏 = 𝑎 + 𝑐: 242 = 𝑎2 + 𝑏𝑐 + 𝑏2 + 𝑎𝑐 = 𝑎2 + (𝑎 + 𝑐)𝑐 + (𝑎 + 𝑐)2 + 𝑎𝑐 = = 𝑎2 + 𝑎𝑐 + 𝑐2 + (𝑎 + 𝑐)2 + 𝑎𝑐 = 2(𝑎 + 𝑐)2 , откуда (𝑎 + 𝑐)2 = 121. Поскольку числа 𝑎 и 𝑐 положительны и 𝑏 = 𝑎 + 𝑐, получаем, что 𝑎 + 𝑐 = 11 и 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 22. Вариант 8.8.2. Различные положительные числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 таковы, что ⎧

𝑎2 + 𝑏𝑐 = 138,

𝑏2 + 𝑎𝑐 = 150, ⎨ 2 ⎩𝑐 + 𝑎𝑏 = 138. Найдите 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.

Ответ: 24.

Вариант 8.8.3. Различные положительные числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 таковы, что ⎧

𝑎2 + 𝑏𝑐 = 163,

𝑏2 + 𝑎𝑐 = 175, ⎨ 2 ⎩𝑐 + 𝑎𝑏 = 163. Найдите 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.

Ответ: 26. Вариант 8.8.4. Различные положительные числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 таковы, что ⎧

𝑎2 + 𝑏𝑐 = 190,

𝑏2 + 𝑎𝑐 = 202, ⎨ 2 ⎩𝑐 + 𝑎𝑏 = 190. Найдите 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.

Ответ: 28.