Рекомендации ФИПИ по самостоятельной подготовке к ЕГЭ по профильной математике (2023)
Официальные рекомендации ФИПИ 2023 года по самостоятельной подготовке к ЕГЭ по профильной математике: как устроен экзамен, с чего начать повторение, какие темы важнее и какими материалами пользоваться.
Текст документа
Текст извлечён из официального PDF ФИПИ автоматически: формулы, таблицы и рисунки могут отображаться неточно — сверяйтесь с документом выше.
Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ обучающимся по организации самостоятельной подготовки к ЕГЭ 2023 года МАТЕМАТИКА Профильный уровень
Москва, 2023
Авторы-составители: И.В. Ященко, А.В. Семенов, И.Р. Высоцкий, М.А. Черняева
Методические рекомендации предназначены для обучающихся 11 классов, планирующих сдавать ЕГЭ 2023 г. по математике профильного уровня. Методические рекомендации содержат советы разработчиков контрольных измерительных материалов ЕГЭ и полезную информацию для организации самостоятельной подготовки к ЕГЭ. В рекомендациях указаны темы, на освоение/повторение которых целесообразно обратить особое внимание.
Содержание Рекомендации по выполнению заданий части 1 экзаменационной работы ............................3 Рекомендации по выполнению заданий части 2 экзаменационной работы ..........................10
Дорогие друзья! Скоро вам предстоит сдать единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике профильного уровня. Ваша основная задача – получить возможность поступить в выбранный вами вуз благодаря хорошей математической подготовке. Подготовка окажется эффективной, если вы будете систематически заниматься. Данные рекомендации помогут вам в подготовке к экзамену. КИМ ЕГЭ 2023 г. по математике профильного уровня состоит из двух частей, включающих в себя 18 заданий. Все линии заданий преемственны по отношению к предыдущей экзаменационной модели. Отметим особенности заданий, требующие повышенного внимания при подготовке к экзамену. Рекомендации по выполнению заданий части 1 экзаменационной работы Часть 1 содержит 6 заданий с кратким ответом базового уровня сложности и 5 заданий с кратким ответом повышенного уровня сложности, в которых ответ необходимо записать в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Они проверяют вычислительные и логические умения и практические навыки применения математических знаний в повседневных ситуациях, в том числе умения использовать простейшие вероятностные и статистические модели, ориентироваться в простейших геометрических конструкциях. В часть 1 работы включены задания по всем основным разделам курса математики: геометрия (планиметрия и стереометрия), алгебра, начала математического анализа, теория вероятностей и статистика. Задания линий 1 и 2 проверяют умение решать геометрические задачи, наиболее трудные для выпускников. Ниже приведены примеры задания базового уровня линии 1 и задания повышенного уровня линии 2. 1
Пример 1 Найдите величину центрального угла, если он на 69 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах. Ответ: 138. Много выпускников не дали ответ. Для получения ответа нужно было знать только один факт: центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Пример 2 Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 75. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведёнными из вершины прямого угла C . Ответ дайте в градусах. Ответ: 30.
Распространённый неверный ответ – «15 ». Его дали участники, которые вписали в поле ответа промежуточный результат или по какой-то причине решили, что искомый угол равен углу A .
D Пример 3 В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB 8 , BC 10 и CD 37 . Найдите четвёртую сторону четырёхугольника. Ответ: 35. Неправильный ответ «29» мог получиться как разность известных противоположных сторон: 37 – 8. В подобных геометрических заданиях базового уровня не следует полагаться на очевидность. Начинать A решение нужно с формулирования утверждения: «Если C B в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин противоположных сторон равны», а затем выписать соотношение в том виде, в котором оно повторяет геометрический факт: AD BC AB CD . В таком случае запись способствует выработке понимания геометрического факта и его запоминанию.
Пример 4 В ромбе ABCD угол CDA равен 78 . Найдите угол ACB . Ответ B дайте в градусах. Ответ: 51.
Рисунок в геометрической задаче нужно воспринимать как изображение взаимного расположения элементов, но нельзя A D относиться к нему как к чертежу, где соблюдены все размеры. При подготовке к экзамену можно самим сделать рисунок к задаче и уже с использованием этого рисунка решать задачу. Работа с новым рисунком позволит исключить ошибку, связанную с невнимательностью или приписыванием данной фигуре несуществующего свойства, например, что треугольник ABC равносторонний. 2
Пример 5 Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 18. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра. Ответ: 24. Распространённая ошибка связана с использованием коэффициента в формуле объёма цилиндра без понимания стереометрической конфигурации. Более четверти участников экзамена дали неверный ответ «12» – провели умножение на 2/3, а не на 4/3, так как не учли, что если радиус вдвое больше, то площадь основания больше вчетверо. Пример 6 Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 24. Найдите объём шара. Ответ: 96. Распространённая ошибка связана с использованием коэффициента в формуле объёма конуса без понимания стереометрической конфигурации. Задания линий 3 и 4 проверяют сформированность умения находить вероятность события. Ниже приведены примеры задания базового уровня линии 3 и задания повышенного уровня линии 4.
Пример 7 В сборнике билетов по физике 20 билетов, в двух из них встречается вопрос по теме «Термодинамика». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Термодинамика». Ответ: 0,9. Типичная ошибка связана с невнимательным чтением условия. Вместо того чтобы найти вероятность «не достанется вопрос», экзаменуемые находили вероятность противоположного события «достанется вопрос». Пример 8 В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Японии, 13 из Китая, остальные из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи. Ответ: 0,3. При решении задач на поиск вероятности в опытах с равновозможными исходами распространённая ошибка – попытка использовать в вычислениях порядковый номер выступления спортсменки.
Пример 9 Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,91. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Решение. Здесь лучше изобразить полное дерево, в котором отражены события A «батарейка неисправна» и B «батарейка забракована системой контроля», что не одно и то же. Дерево получается такое, как на рисунке. Искомая вероятность складывается из вероятностей цепей SAB и SAB и равна P B P SAB P SAB 0,03 0,91 0,97 0,01 0,037 . Ответ: 0,037. Пример 10 Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние. Ответ: 0,0576. В данной задаче дерево сводится к одной цепи, поскольку нас интересует только одно элементарное событие – два успеха и две неудачи подряд. Ненужные ветви дерева можно не изображать. Пример 11 В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится чай, равна 0,2. Вероятность того, что в то же время чай закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что чай закончится
одновременно в обоих автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется и в первом, и во втором автомате. Ответ: 0,78.
Пример 12 Игральную кость бросили дважды. Известно, что пять очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков равна 7». Ответ: 0,16. Среди заданий базового уровня традиционно вызывают затруднения задания линии 5 на решение иррациональных, показательных, логарифмических уравнений. 5
Пример 13 Найдите корень уравнения 3x2 81 . Ответ: 2. Пример 14 Найдите корень уравнения 4 Ответ: 6.
64.
Как правило, ошибки связаны с действиями со степенями, с представлением числа в виде степени, решением линейных и квадратных уравнений, вычислениями. Поэтому необходимо обратить внимание на математическую подготовку и проверять правильность преобразований и вычислений даже в простых заданиях. Найденный корень целесообразно проверить подстановкой в уравнение. Решение заданий базового уровня линии 6 на нахождение значений иррациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических выражений также зачастую представляет сложность. Ниже приведены примеры заданий этой линии. 6
Пример 15 Найдите значение выражения
log 8 81 . log 8 3
Ответ: 4. Задание проверяет сформированность умения применять свойства логарифма при нахождении значения логарифмического выражения. «Сокращение логарифмов» – типичная ошибка, обусловленная недостаточностью практики работы с логарифмами. Пример 16 Найдите значение выражения
8sin 94 . sin 47 sin 43
Ответ: 16. Задание проверяет сформированность умения применять свойства тригонометрических функций – формулы приведения, основное тригонометрическое тождество, формулы двойного аргумента. Типичная ошибкой при выполнении таких заданий – ошибка в применении формул, в частности «потеря» множителя 2 в формуле синуса удвоенного аргумента. 6
Пример 17 Найдите значение выражения 6 3 cos
2 11π
3 3.
Ответ: –4,5. Задание выполнили меньше половины участников ЕГЭ. Многие участники экзамена не дали никакого ответа, наиболее распространённые неверные ответы – «3» и «1,5» получены при неаккуратном обращении с множителями, возникающими после применения формулы косинуса двойного аргумента. Задания линии 7 проверяют умение применять производную к исследованию функции. Здесь важно знать геометрический смысл производной функции в точке, правила нахождения производных и производные элементарных функций, а также уметь определить связь между характером монотонности функции и знаком её производной, по графику производной функции охарактеризовать свойства самой функции. Ниже приведены примеры заданий этой линии. 7
Пример 18 На рисунке изображён график y = f '(x) – производной функции f (x), определённой на интервале (–8; 4). В какой точке отрезка [–7; –4] функция f (x) принимает наименьшее значение? Ответ: –4. Проблемы у выпускников возникают из-за невнимательного чтения условия задачи и непонимания связи свойств функции с её производной. Типичным неверным ответом является число –7. Получение неверного ответа связано с тем, что выпускники путали график функции с графиком её производной.
y 3 1
y = f ’(x)
Пример 19 На рисунке изображены график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f (x) в точке x0. Ответ: –1,75. Типичный неверный ответ – «1,75» («потерян» минус). Такая ошибка возникает у тех, кто механически воспроизводит алгоритм поиска производной с помощью прямоугольного треугольника, но не обращает внимания на направление касательной. При выполнении таких заданий нужно разбить решение задачи на два этапа: первый этап – определение знака; второй этап – определение модуля производной. Существенные затруднения вызывают задания, связанные с вычислением по формуле. Задания линии 8 проверяют сформированность умения использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Пример такого задания приведён ниже. 8
Пример 20 7
В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой R1 = Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого – R2 (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов RR с сопротивлениями R1 и R2 их общее сопротивление R вычисляется по формуле R 1 2 R1 R 2 . Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 36 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в омах. Ответ: 108. Для выполнения этого задания нужно уметь выразить одну из величин через другие, когда все величины связаны известной формулой, т.е. требуется решить простейшее уравнение или неравенство. Затруднения у выпускников возникают на стадии чтения условия задачи или при подстановке данных в формулу. Часть выпускников не справляется с вычислениями. Пример 21 Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 494 МГц. Скорость погружения батискафа v (в м/с) f f0 , где с = 1500 м/с – скорость звука в воде, f 0 – вычисляется по формуле v c f f0 частота испускаемых импульсов (в МГц), f – частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 18 м/с. Ответ дайте в МГц. Ответ: 506. Для выполнения этого задания нужно уметь выразить одну из величин через другие, когда все величины связаны известной формулой, т.е. требуется решить простейшее рациональное уравнение. Пример 22 В ходе распада радиоактивного изотопа его масса (в мг) уменьшается по закону
m m0 2 T , где m 0 – начальная масса изотопа (в мг), – время, прошедшее от начального момента (в мин.), T — период полураспада (в мин.). В начальный момент времени масса изотопа равна 116 мг. Период его полураспада составляет 9 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 29 мг. Ответ: 18.
Для выполнения этого задания нужно уметь выразить одну из величин через другие, когда все величины связаны известной формулой, т.е. требуется решить простейшее показательное уравнение. Значительно упрощает получение ответа понимание смысла понятия «период полураспада радиоактивного вещества». Приведём примеры заданий линии 9 на проверку сформированности умения использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. 9
Пример 23 На изготовление 384 деталей первый рабочий тратит на 8 ч меньше, чем второй рабочий на изготовление 480 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий? Ответ: 24. 8
Пример 24 Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 7 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 72 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 30 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 63. Пример 25 Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 128 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью, на 8 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 8 ч. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 16. Для решения задачи нужно уметь составлять уравнение по её условию, решать уравнение и верно интерпретировать результаты его решения. Неверный ответ в таких задачах обычно оказывается ответом на другой вопрос: в примере 23 массовый неверный ответ – производительность труда второго рабочего, а в примере 25 – скорость на пути из А в В. Обязательно следует проверять полученный ответ «на здравый смысл». В примере 25 нужно вычислить скорость, которая на 8 км/ч выше вчерашней; ответ «8» неверен, потому что это означало бы, что вчера велосипедист ехал со скоростью 0 км/ч. Линия 10 – задания повышенного уровня сложности с кратким ответом интегрированного характера, для выполнения которых необходимо привлекать знания из разных разделов курса математики: элементарные функции; решение линейных, квадратных, иррациональных, рациональных, логарифмических, показательных уравнений и их систем. Ниже приведены примеры заданий линии 10. 10
Пример 26 На рисунке изображён график функции вида f x ax 2 bx c , где числа a, b и c целые. Найдите значение f 12 . Ответ: 61.
Пример 27 На рисунке изображены графики функций видов f x a x и g x kx , пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. Ответ: 16.
0 A1 2
Пример 28
На рисунке изображён график функции вида f x log a x .
Найдите значение f 32 . Ответ: –5. 0 1 2 –1
Задания линии 11 проверяют умение применять производную к исследованию функции. Здесь важно знать геометрический смысл производной функции в точке, правила нахождения производных и производные элементарных функций, а также уметь определить связь между характером монотонности функции и знаком её производной, уметь находить точки экстремума функции. Ниже приведены примеры заданий этой линии. 11
Пример 29 Найдите точку максимума функции y 7 ln x 9 7 x 2 . Ответ: 10. Пример 30 3
Найдите точку максимума функции y x 147 x 19 . Ответ: 7. При нахождении точки максимума функции нужно найти производную функции; приравняв производную к нулю, решить простейшее дробное рациональное (в примере 29) или квадратное (в примере 30) уравнения; продолжить исследование, чтобы найти точку максимума. Рекомендации по выполнению заданий части 2 экзаменационной работы В части 2 КИМ предлагается 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. Используя демонстрационный вариант, необходимо изучить критерии оценивания этих заданий, особенно требования к полному верному ответу. Задания линий 12, 14 и 15 относятся к алгебраическим заданиям с развёрнутым ответом повышенного уровня сложности. В заданиях линии 12 нужно решить тригонометрическое, или логарифмическое, или показательное уравнение и отобрать корни, принадлежащие числовому отрезку. 12
Пример 31 3
а) Решите уравнение 2sin x 2 cos 2 x sin x
7π б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ; 2π . 2 π π 13π Ответ: а) πk , k ; 2πn , n ; 2πm , m ; б) ; 3π ; 2π . 6 6 4 Пример 32 а) Решите уравнение sin 2 x 2sin x cos x 1 0.
7π б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2π; . 2 π 5π 19π Ответ: а) 2πk , k ; 2πn , n ; . 2πm , m ; б) 2π ; 6 6 6 10
Большинство выпускников, приступающих к решению этой задачи, верно выполняют преобразования с использованием функций удвоенного аргумента, формул приведения, реже – формул суммы или разности тригонометрических функций, без которых, кстати, всегда можно обойтись. В результате всех преобразований уравнение приводится к совокупности простейших тригонометрических уравнений. Отбор корней с помощью числовой окружности не представляет трудностей, если участник экзамена понимает, где на окружности находятся найденные им серии решений и отрезок (дуга), на котором лежат корни. При отборе корней с помощью тригонометрической окружности на ней должны быть: начало и конец дуги (отмечены и подписаны на окружности); выделение (любым способом) рассматриваемой дуги; корни (отмечены и подписаны на окружности), принадлежащие этой дуге; при этом на дуге могут быть отмечены дополнительные точки, принадлежащие ей. В заданиях линии 14 нужно решить рациональное, логарифмическое или показательное неравенства. 14
Пример 33
Решите неравенство 25 4 5
8 5 2 25 15.
Ответ: ; 0 ; log 5 3;1 . Пример 34
243 0. 3 36 Ответ: 2; 3 ; log3 36; . Решите неравенство 3x
Трудности при решении этой задачи возникали у тех, кто не увидел подходящую замену переменных для разложения на множители. При решении неравенств такого типа выпускники делают ошибки не при решении показательных неравенств, а при решении алгебраического неравенства и выполнении алгоритма метода интервалов. Задания линии 15 проверяют сформированность умения использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Для выполнения этих заданий нужно уметь решать текстовую задачу с экономическим содержанием. 15
Пример 35 15 января 2025 г. планируется взять кредит в банке на сумму 1200 тыс. рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й (с февраля по ноябрь 2025 г. включительно) долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – 15 ноября 2025 г. долг составит 400 тыс. рублей; – 15 декабря 2025 г. кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита. Ответ: 1288 тыс. рублей. Пример 36 11
В июле 2026 г. планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – платежи в 2027 и в 2028 гг. должны быть по 300 тыс. рублей; – к июлю 2029 г. долг должен быть выплачен полностью. Известно, что платёж в 2029 г. будет равен 417,6 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит? Ответ: 700 тыс. рублей. Основную сложность в данной задаче представляет перевод условия на математический язык. Участники экзамена, аккуратно разобравшиеся в условии, как правило, верно составляли арифметическую модель последовательности платежей и выясняли, что она является арифметической прогрессией. Далее важно избежать вычислительных ошибок. Задания линий 13 и 16 относятся к геометрическим заданиям с развёрнутым ответом повышенного уровня сложности. Эти задания верно решают в основном те, кто претендует на высокий балл. Задание 13 проверяет сформированность наглядных представлений об изученных стереометрических фигурах, а также умения строить сечения, проводить доказательства, пользуясь изученными фактами о взаимном расположении прямых и плоскостей, находить геометрические величины, пользуясь теоремами об объёмах и площадях поверхности геометрических тел. 13
Пример 37 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 14, высота SH равна 24. Точка K – середина бокового ребра SD а точка N – середина ребра CD. Плоскость AKB пересекает боковое ребро SC в точке P. а) Докажите, что прямая KP пересекает отрезок SN в его середине. б) Найдите расстояние от точки P до плоскости SAB. Ответ: б) 6,72. Пример 38 В кубе ABCDA1 B 1C 1 D 1 точки M и N – середины рёбер AB и AD соответственно. а) Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны. б) Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B1N = 6. 4 5 Ответ: б) . 5 Задание разбито на два пункта. Первый пункт считается выполненным, если приведено верное доказательство. Второй пункт считается выполненным, если обоснованно получен верный ответ. Важно отметить, что, выполняя задание, можно использовать утверждение пункта а при решении пункта б. Задание 16 – планиметрическая задача, проверяющая умения пользоваться изученными геометрическими фактами и теоремами, исследовать геометрические конфигурации на плоскости.
Пример 39 Трапеция ABCD с бо́льшим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K . а) Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны. 12
б) Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, BAC 30, а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.
Ответ: б) 4 33 . Пример 40 На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M, такая, что AM MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC . б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB 5, BC 10,
BAD 60. 17 3 3 13 . 10 Планиметрические задачи традиционно входили в состав вступительных испытаний технических и математических специальностей вузов. Первый пункт считается выполненным, если приведено верное доказательство. Второй пункт считается выполненным, если обоснованно получен верный ответ. Важно отметить, что, выполняя задание, можно использовать утверждение пункта а при решении пункта б. Ответ: б)
Задания линий 17 и 18 относятся к алгебраическим заданиям с развёрнутым ответом высокого уровня сложности. Задания линии 17 проверяют сформированность умений применять математические знания, исследовать уравнения и функции, их графики и взаимное расположение алгебраически заданных кривых. 17
Пример 41 2
Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение x a
x a x a 2a
имеет ровно два различных корня. Ответ: a 1 ; 0 a 1 ; 1 a 3 . 2 2 Пример 42 Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение x 2 a 2 6 x 4a 2 x 2a имеет четыре различных корня. Ответ: 1 5 a 1 ; 0 a 1 5 . Задача даёт возможность участнику экзамена, претендующему на поступление в вуз с высокими требованиями к уровню математической подготовки, показать умение верно проводить рассуждения, проверки, преобразования. Поэтому за задачу берутся в основном выпускники с высоким уровнем подготовки. Навыки, необходимые для верного выполнения данного задания, формируются на протяжении многих лет обучения математике. Задания линии 18 проверяют способность находить пути решения, комбинируя известные методы и алгоритмы. Их особенность состоит в том, что практически все задания этой линии апеллируют к целочисленной арифметике, причём к фактам, известным из курса математики 5–7 классов. 18
Пример 43 Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число. 13
а) Может ли это отношение быть равным 34? б) Может ли это отношение быть равным 84? в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4? Ответ: а) да; б) нет; в) 26. Пример 44 С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151? в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно? Ответ: а) да; б) нет; в) 51. Задача имеет исследовательский характер, требуя подчас подтверждения или опровержения гипотез. Верное выполнение всего задания даёт возможность продемонстрировать готовность к продолжению образования в ведущих вузах. При этом первый пункт задачи имеет конструктивный характер и доступен многим участникам экзамена. Важно, что для выполнения первого пункта не требуется специальных знаний – достаточно сообразительности и терпения, чтобы обнаружить нужную математическую конструкцию. На экзамене по математике разрешается пользоваться только теми справочными материалами, которые находятся в работе (пять тригонометрических формул сразу после инструкции по выполнению работы). При выполнении заданий разрешается пользоваться линейкой. Калькулятор на экзамене не используется.
Рекомендации по самостоятельной подготовке к ЕГЭ по математике, базовый уровень (2023 г.) — текст
Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ обучающимся по организации самостоятельной подготовки к ЕГЭ 2023 года МАТЕМАТИКА Базовый уровень
Москва, 2023
Авторы-составители: И.В. Ященко, А.В. Семенов, М.А. Черняева
Методические рекомендации предназначены для обучающихся 11 классов. Методические рекомендации содержат советы разработчиков контрольных измерительных материалов ЕГЭ и полезную информацию для организации самостоятельной подготовки к ЕГЭ. В рекомендациях описаны структура и содержание контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2023 г., приведён индивидуальный план подготовки к экзамену, указаны темы, на освоение/повторение которых целесообразно обратить особое внимание. Даны рекомендации по выполнению разных типов заданий, работе с открытым банком заданий ЕГЭ и другими дополнительными материалами, полезные ссылки на информационные материалы ФИПИ и Рособрнадзора.
Дорогие друзья! Скоро вам предстоит сдать единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике. Ваша основная задача – показать хорошую математическую подготовку и получить аттестат о среднем образовании. Подготовка будет эффективной, если вы будете систематически заниматься. Данные рекомендации помогут вам в подготовке к экзамену. Экзаменационная работа в себя 21 задание с кратким ответом базового уровня сложности. На выполнение работы отводится 3 часа (180 минут). Ответы к заданиям с кратким ответом 1–21 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби в бланке ответов № 1. Задания проверяют базовые вычислительные и логические умения и навыки, умение анализировать информацию, представленную на графиках и в таблицах, использовать простейшие вероятностные и статистические модели, ориентироваться в простейших геометрических конструкциях. В работу включены задания базового уровня по всем основным предметным разделам: геометрия (планиметрия и стереометрия), алгебра, начала математического анализа, теория вероятностей и статистика. На экзамене разрешается пользоваться только теми справочными материалами, которые выдаются вместе с вариантом контрольных измерительных материалов. При выполнении заданий разрешается пользоваться линейкой. Калькулятор на экзамене использовать не разрешается. Максимальное количество первичных баллов, которое может получить участник экзамена за выполнение всей экзаменационной работы – 21 балл. За правильное выполнение каждого задания 1–21 начисляется 1 первичный балл. Для прохождения государственной итоговой аттестации по математике необходимо набрать не менее 7 первичных баллов. При самостоятельной подготовке к экзамену рекомендуется использовать следующую таблицу, включающую все темы и элементы содержания, которые могут быть проверены на едином государственном экзамене по математике (таблица 1). Отметьте, какие темы вы уже изучили/повторили, а какие ещё предстоит изучить/повторить. Так вы сможете спланировать свою подготовку к экзамену. Таблица 1 № Элементы содержания Пройдено Необходимо задания изучить / повторить Алгебра 1 Решение текстовой задачи, сводящееся к преобразованию выражений, включающих арифметические операции 2 Рациональные числа 4 Работа с формулой: преобразования выражений, включающих арифметические операции, операцию возведения в степень, операцию извлечения корня 5 Преобразования выражений, включающих арифметические операции, операцию возведения в степень, операцию извлечения корня, преобразование тригонометрических и логарифмических выражений 6 Задача, сводящаяся к преобразованию выражений, включающих арифметические операции 8 Текстовая логическая задача 3
Целые, дробные числа Дроби, проценты, рациональные числа Рациональные числа, иррациональные числа, степень с целым показателем 19 Текстовая задача, сводящаяся к преобразованию выражений, включающих арифметические операции и операцию возведения в степень Уравнения и неравенства 17 Квадратные, рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения 18 Решение рационального, показательного, логарифмического неравенства. Координатная прямая 19 Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учёт реальных ограничений. Верные и неверные утверждения 20 Текстовая задача, сводящаяся к преобразованию выражений или решению уравнений 21 Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учёт реальных ограничений. Верные и неверные утверждения Функции 3 График функции. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях 7 График функции. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Свойства функции Начала математического анализа 7 По графику: геометрический смысл производной, уравнение касательной; применение производной к исследованию функции Геометрия 9 Треугольник, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция: длина отрезка, величина угла, площадь фигуры 10 Треугольник, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция: длина отрезка, величина угла, площадь фигуры 11 Призма, пирамида, многогранники, цилиндр, конус, шар и сфера: длина, величина угла, площадь, объём 12 Треугольник, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция: длина отрезка, величина угла, площадь фигуры 14 15 16
Призма, пирамида, многогранники, цилиндр, конус, шар и сфера: длина, величина угла, площадь, объём Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей 5 Вероятность события 3 Табличное и графическое представление данных 13
Рекомендуем вам придерживаться следующих этапов индивидуальной подготовки.
1. Определить свой уровень подготовки
Для подготовки к экзамену нужно определить уровень своих знаний и умений. Нужно решить три-пять разных вариантов, соответствующих демонстрационному1 варианту ЕГЭ базового уровня 2023 г. из печатных или электронных учебных пособий. На выполнение каждого варианта следует отводить не менее трёх часов (на экзамене – три часа). Результаты нужно занести в лист достижений – таблицу, в которой столбик – вариант (номер варианта, работы), строчки – номера заданий. В листе достижений обозначить правильные ответы, например, знаком «+», а неправильные – знаком «–». В таблице 2 приведена часть листа достижений. Таблица 2 Лист достижений Варианты Задания 2 3 1 4 5 1 2 3 4 5 В листе достижений будут видны задания, при выполнении которых возникли трудности (знак «–»). Он позволит определить уровень подготовки и темы, задания по которым решаются всегда правильно, решаются не всегда правильно и не решаются или решаются неверно. Традиционно при анализе ЕГЭ базового уровня по математике выделяется четыре группы участников с разными уровнями математической подготовки. Группа наименее подготовленных участников экзамена выполняет не более шести заданий (соответствует отметке «2»). Выпускники не обладают математическими умениями на базовом, бытовом и общественно значимом уровне, не владеют устойчивыми умениями счёта и чтения. Группа низкого уровня подготовки. Участники экзамена, относящиеся к этой группе, выполняют от 7 до 11 заданий (соответствует отметке «3»). Как правило, это задания, требующие прямого подсчёта. Экзаменуемые с данным уровнем подготовки обычно ошибаются в задачах на проценты. Группа базового уровня подготовки. Участники экзамена, относящиеся к этой группе, выполняют от 12 до 16 заданий (соответствует отметке «4»). Выпускники владеют Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ по математике (базовый уровень), кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования и элементов содержания для проведения единого государственного экзамена по математике и спецификация контрольных измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена по математике (базовый уровень) размещены на сайте ФГБНУ «ФИПИ» в соответствующем разделе или по ссылке http://fipi.ru/materials. 1
базовым уровнем математических знаний, необходимых в бытовых расчётах, жизненных ситуациях. Группа выше базового уровня подготовки. Участники экзамена, относящиеся к этой группе, выполняют от 17 до 21 задания (соответствует отметке «5»). Выпускники владеют базовым уровнем математических знаний, необходимых в бытовых расчётах, жизненных ситуациях. Они планируют продолжение образования в областях, не связанных с математикой. ЕГЭ по математике профильного уровня не требуется им для поступления на выбранные ими специальности.
2. Сформулировать цель сдачи экзамена
Для подготовки к экзамену нужно определить цель его сдачи. Чтобы пройти государственную итоговую аттестацию (набрать не менее 7 первичных баллов), достаточно выполнить задания первой половины варианта (1– 10 задания). Результаты базового ЕГЭ не используются для поступления в вуз, однако подготовка к сдаче ЕГЭ базового уровня на высокий балл позволит закрепить математические навыки, необходимые в жизни, в массовых профессиях, при обучении в вузе по специальностям, для которых не требуется ЕГЭ по математике профильного уровня. При такой цели на экзамене необходимо выполнить максимально возможное число заданий.
3. Выстроить стратегию подготовки к экзамену
Верно сформулированная цель с учётом уровня подготовки позволит спокойно готовиться к экзамену. Если цель – только сдать экзамен, а уровень подготовки ниже базового или базовый, то нужно тренироваться выполнять задания, которые хорошо получаются, добиваться стабильно верного их решения. При переходе к решению новых задач сначала изучите материал по учебнику, а затем переходите к решению задач. В первую очередь следует обращать внимание на правильность понимания вопроса задания, верность вычислений. Если цель – успешно учиться в вузе, который не предъявляет специальных требований к уровню математической подготовки абитуриентов, то следует ориентироваться на получение 4 или 5 тестовых баллов при текущем базовом уровне подготовки; нужно верно решать все задания варианта. Необходимо уделять особое внимание вдумчивому чтению условия задач и отработке навыков безошибочного выполнения арифметических действий. При подготовке к экзамену все вычисления должны выполняться без калькулятора (как на экзамене). Распечатайте из демонстрационного варианта КИМ справочные материалы, которыми можно пользоваться на экзамене. На черновике нужно записывать выражение, преобразование выражения с использованием законов сложения и умножения, формул сокращённого умножения (не забывайте о справочных материалах) и вычисления «в столбик». В самом решении следует писать порядок действий, записывать подробно приведение дробей к общему знаменателю, сложение, вычитание, умножение и деление дробей. После каждого действия надо делать проверку обратным действием, поскольку самые распространённые ошибки – вычислительные. Если допущена ошибка, то ответ получается неверный, и тогда за выполнение задания выставляется 0 баллов. Для того чтобы набрать не менее 7 первичных баллов, нужно потренироваться решать не менее 10 линий заданий экзаменационного варианта. С помощью листа достижений выявите те задания варианта, которые вы можете выполнить, содержание которых вам понятно. Надо продолжать их решать до получения стабильно верного результата. Потом следует переходить к тем заданиям, выполнение которых вызывает затруднения, и с помощью учебника и пособий попробовать понять причину затруднения. При выполнении таких заданий простая сверка полученного ответа с эталонным ничего
не даёт. Нужно учиться их решать, используя для этого печатные и электронные учебные пособия. При решении каждого задания важно пройти все этапы: а) внимательно прочитать условие, выделить в тексте ключевые моменты; б) выполнить вычисления (рассуждения) – обычно нужно сделать 1–2 шага; в) зафиксировать полученный ответ; г) проверить правильность ответа, решив обратную задачу, или подставив корни в уравнение, или оценив полученный ответ прикидкой ожидаемого результата, а при решении задачи проверить реалистичность полученного ответа; д) прочитать ещё раз вопрос в задании и убедиться, что ответ получен именно на него; е) записать ответ в бланк ответов № 1. После прохождения всех этапов решения задания должно сформироваться внутреннее убеждение: «Я сделал задание верно!» Оптимальная стратегия подготовки к экзамену – набрать из открытых банков разные типы заданий по десяти линиям, из них составить себе тренировочные варианты на каждый день, решать каждое задание, выполняя все шаги. Отдельно рассматривать решения заданий, которые не получились, зафиксировать эти задания, чтобы вновь решать их через какое-то время. Торопиться при решении не надо! Времени для выполнения десяти заданий достаточно (180 минут): его хватает и на то, чтобы проверить решение несколько раз, выполнив задание разными способами, и на проверку таких решений. Справочные материалы могут помочь в решении задач только тогда, когда есть понимание, в каком случае имеет смысл к ним обращаться. В этих справочных материалах нет таблицы умножения, действий с обыкновенными и десятичными дробями, процентов – это нужно знать. Решать варианты и задания нужно самостоятельно – без калькулятора, других справочников, Интернета, звонков другу… Для получения высокого балла нужно учиться решать задания всего варианта. Оптимальная стратегия подготовки к экзамену – работать тематически, используя задания Открытого банка заданий ЕГЭ, размещённого на официальном сайте ФГБНУ «ФИПИ» www.fipi.ru, проверенных электронных сервисов. Обязательно уделяйте внимание тренировке навыков безошибочного выполнения заданий, в которых вы уверены. Отдельно решайте задания по тем темам, которые усвоены не очень хорошо. Изучение тем, знание которых минимально, и проработку соответствующих позиций варианта экзамена следует исключить из подготовки.
4. Выстроить график подготовки к экзамену
Заниматься математикой нужно постоянно, желательно каждый день, чередуя повторение тем с решением полных вариантов. Каждое занятие должно включать в себя решение задач по трудным темам и тренировочных вариантов. Трудным темам надо уделить больше времени – обратиться к учебнику, видеоурокам, пособиям. В период подготовки к экзамену важно накопить опыт решения разных задач. Оптимальный график подготовки к экзамену для тех, кто выбирает «сдать экзамен» – набрать из открытых банков типы заданий по десяти позициям, составить себе из них на каждый день тренировочный вариант, решать каждое задание, выполняя все шаги, засекая время выполнения. Отдельно рассмотреть решение заданий, которые не получились, чтобы вновь решать их через какое-то время. Оптимальный график подготовки к экзамену для тех, кто выбирает «высокий балл» – набрать из открытых банков или печатных учебных пособий тренировочные варианты и каждый день выполнять не более одного варианта, отдельно решая задания по тем темам, которые усвоены плохо. На каждом занятии следует решать как задания по алгебре, так и задания по геометрии. Нужно накапливать опыт решения задач.
Рассмотрим практико-ориентированные задания линии 1.
Пример 1 В летнем лагере 150 детей и 16 воспитателей. В одном автобусе можно перевозить не больше 20 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из лагеря в город? Ответ: 9. Пример 2 Стоимость полугодовой подписки на журнал составляет 900 рублей, а стоимость одного номера журнала в киоске 44 рубля. За полгода Аня купила 25 номеров журнала. На сколько рублей меньше она бы потратила, если бы подписалась на журнал? Ответ: 200. Пример 3 Теплоход рассчитан на 760 пассажиров и 35 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 60 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды? Ответ: 14. Рассмотрим практико-ориентированные задания линии 2.
Пример 4 Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ ЗНАЧЕНИЯ А) длительность звучания одной песни 1) 0,1 с Б) длительность полнометражного 2) 365 суток художественного фильма 3) 105 мин. В) продолжительность вспышки фотоаппарата 4) 3,5 мин. Г) время одного оборота Земли вокруг Солнца В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. А Б В Г Ответ: Ответ: 4312. Пример 5 Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ А) высота потолка в комнате Б) длина реки Оби В) высота Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге Г) длина тела кошки
1) 2) 3) 4)
ЗНАЧЕНИЯ 102 м 2,8 м 54 см 3650 км
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. А
Ответ: Ответ: 2413. Пример 6 Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ ЗНАЧЕНИЯ А) масса взрослого бегемота 1) 50 г Б) масса активного вещества в таблетке 2) 3 т В) масса куриного яйца 3) 2,5 мг Г) масса детской коляски 4) 14 кг В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. А Б В Г Ответ: Ответ: 2314. Рассмотрим практико-ориентированные задания линии 3.
Пример 7 На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 г. По горизонтали указаны числа месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линиями. 7 6 5 4 3 2 1 0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Определите по рисунку наибольшее суточное количество осадков в Казани за данный период. Ответ дайте в миллиметрах. Ответ: 6. Пример 8 На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия.
Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в Екатеринбурге (Свердловске) в 1973 г. Ответ дайте в градусах Цельсия. Ответ: 18. Пример 9 На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 г. По горизонтали указаны номера месяцев, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линиями. 28 24 20 16 12 8 4 0
Определите по рисунку, в каком месяце среднемесячная температура в Сочи была наименьшей за данный период. В ответе запишите номер этого месяца. Ответ: 2. Рассмотрим практико-ориентированные задания линии 4.
Пример 10 Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P I 2 R , где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите R (в омах), если P 144 Вт и I 6 А. Ответ: 4. Пример 11 Закон Гука можно записать в виде F kx , где F – сила (в ньютонах), с которой растягивают пружину, x – абсолютное удлинение пружины (в метрах), а k – коэффициент упругости (в Н/м). Пользуясь этой формулой, найдите x (в метрах), если F 80 Н и k 5 Н/м. Ответ: 16.
Рассмотрим задания линии 5.
Пример 12 В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные – из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи. Ответ: 0,25. Пример 13 В фирме такси в наличии 15 легковых автомобилей: 9 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные – жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями. Ответ: 0,4. Пример 14 Фабрика выпускает сумки. В среднем из 120 сумок, поступивших в продажу, 6 имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется со скрытым дефектом. Ответ: 0,05. Рассмотрим практико-ориентированные задания линии 6.
Пример 15 В городском парке работает 5 аттракционов: карусель, колесо обозрения, автодром, «Ромашка» и «Весёлый тир». В кассах продаётся 6 видов билетов, каждый из которых на один или на два аттракциона. Сведения о стоимости билетов представлены в таблице. Номер билета 1 2 3 4 5 6
Набор аттракционов «Весёлый тир», карусель «Весёлый тир», «Ромашка» Карусель Автодром, «Ромашка» Колесо обозрения, автодром Карусель, колесо обозрения
Стоимость (руб.) 400 550 100 450 200 400
Какие билеты должен купить Андрей, чтобы посетить все пять аттракционов и потратить не больше 900 рублей? В ответе запишите какой-нибудь один набор номеров билетов без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: 235. Пример 16 Турист подбирает экскурсии. Сведения об экскурсиях представлены в таблице. Номер экскурсии 1 2 3 4 5 6
Посещаемые объекты Загородный дворец, крепость Крепость Парк, музей живописи Загородный дворец Музей живописи Загородный дворец, парк
Стоимость (руб.) 250 100 390 200 150 320
Пользуясь таблицей, подберите набор экскурсий так, чтобы турист посетил четыре объекта: крепость, загородный дворец, парк и музей живописи, а суммарная стоимость экскурсий не 11
превышала 650 рублей. В ответе запишите какой-нибудь один набор номеров экскурсий без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: 13; 256. Пример 17 Путешественник из Москвы хочет посетить четыре города Золотого кольца России: Владимир, Ярославль, Суздаль и Ростов Великий. Турагентство предлагает маршруты с посещением некоторых городов Золотого кольца. Сведения о стоимости билетов и маршрутах представлены в таблице. Номер маршрута 1 2 3 4 5 6
Посещаемые города Суздаль, Ярославль, Владимир Ростов Великий, Владимир Ярославль, Владимир Суздаль Ростов Великий, Суздаль Ярославль, Ростов Великий
Стоимость (руб.) 3900 2400 2100 1650 2700 2350
Какие маршруты должен выбрать путешественник, чтобы побывать во всех четырёх городах и потратить меньше 5000 рублей? В ответе запишите какой-нибудь один набор номеров маршрутов без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: 35. Практико-ориентированные задания линии 7 – о свойствах функций. В одних задачах это могут быть элементарные свойства функции по её графику, а в других – исследование, связанное с понятием производной и касательной к графику функции. 7
Пример 18 На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия. 80 70 60 50 40 30 20 10 0
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие характеристику температуры на этом интервале. ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ А) 0–1 мин. Б) 2–3 мин. В) 4–6 мин. Г) 7–9 мин.
каждому
интервалу
времени
ХАРАКТЕРИСТИКИ 1) температура падала 2) самый быстрый рост температуры 3) температура росла и на всём интервале была выше 60 °С 4) температура находилась в пределах от 40 °C до 50 °C 12
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. А Б В Г Ответ: Ответ: 2431. Пример 19 На рисунке точками показано атмосферное давление в некотором городе на протяжении трёх суток, с 4 по 6 апреля 2013 г. В течение суток давление измеряется 4 раза: в 00:00, в 06:00, в 12:00 и в 18:00. По горизонтали указаны время и дата, по вертикали – давление в миллиметрах ртутного столба. Для наглядности точки соединены линиями. 766 764 762 760 758 756 754 752 0:00 6:00 12:0018:00 0:00 6:00 12:0018:00 0:00 6:00 12:0018:00 0:00 4 апреля 5 апреля 6 апреля
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику атмосферного давления в этом городе в течение этого периода. ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ А) утро 4 апреля (с 6 до 12 ч) Б) утро 5 апреля (с 6 до 12 ч) В) утро 6 апреля (с 6 до 12 ч) Г) день 6 апреля (с 12 до 18 ч)
1) 2) 3) 4)
ХАРАКТЕРИСТИКИ давление упало давление не изменилось и было выше 764 мм рт. ст. давление не изменилось и было ниже 760 мм рт. ст. давление выросло
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. А Б В Г Ответ: Ответ: 3421. Пример 20 На рисунке изображён график функции y f x . Числа a , b, c , d и e задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции.
y = f (x) b a 0
ИНТЕРВАЛЫ
А) Б) В) Г)
a; b b; c c; d d; e
1) 2) 3) 4)
ХАРАКТЕРИСТИКИ значение функции положительно в каждой точке интервала значение функции отрицательно в каждой точке интервала функция возрастает на интервале функция убывает на интервале
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. А Б В Г Ответ: Ответ: 2314. Рассмотрим практико-ориентированные задания линии 8. 8
Пример 21 На соревнованиях сборная России завоевала медалей больше, чем сборная Канады, сборная Канады – больше, чем сборная Германии, а сборная Норвегии – меньше, чем сборная Канады. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Сборная Германии завоевала больше медалей, чем сборная России. 2) Из названных сборных команда Канады заняла второе место по количеству медалей. 3) Среди названных сборных есть три, завоевавшие равное количество медалей. 4) Сборная России завоевала больше медалей, чем каждая из остальных трёх сборных. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: 24. Пример 22 При взвешивании животных в зоопарке выяснилось, что жираф тяжелее верблюда, верблюд тяжелее тигра, а леопард легче верблюда. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Жираф тяжелее леопарда. 2) Жираф самый тяжёлый из всех этих животных. 3) Жираф легче тигра. 4) Леопард тяжелее верблюда. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: 12.
Пример 23 Школа приобрела стол, доску, магнитофон и принтер. Известно, что принтер дороже магнитофона, а доска дешевле магнитофона и дешевле стола. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Магнитофон дешевле доски. 2) Доска – самая дешёвая из покупок. 3) Принтер и доска стоят одинаково. 4) Принтер дороже доски. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: 24. Рассмотрим практико-ориентированные задания линии 9. 9
Пример 24 План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. Ответ: 4. Пример 25 План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. Ответ: 11. Пример 26 План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. Ответ: 9. Рассмотрим линии, на которые необходимо обратить особое внимание при подготовке к экзамену. Практико-ориентированные задания по геометрии линии 10 представляют особую сложность – нужно уметь решать практические задачи по планиметрии.
Пример 27 На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 16,3 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3,2 м, а длина 5 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от площади, указанной на плане? Ответ: 0,3. Пример 28 Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 22 м и 30 м. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах. Ответ: 126.
5м 3,2 м
30 м
22 м
Пример 29 Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 40 м и 50 м. Дом, расположенный на участке, имеет на плане форму квадрата со стороной 9 м. Найдите площадь части участка, не занятой домом. Ответ дайте в квадратных метрах. Ответ: 1919.
50 м 9м 40 м
Рисунок в геометрической задаче нужно воспринимать как изображение взаимного расположения элементов, но нельзя относиться к нему как к чертежу, где соблюдены все размеры. При подготовке к экзамену можно нарисовать свой рисунок, отметив все известные элементы, и уже с его использованием решать задачу – находить площадь, сумму длин, и только потом отвечать на вопрос задания. Геометрические задачи линий 11 и 13 на расчёт элемента фигуры в пространстве представляют трудности для участников экзамена базового уровня. Рассмотрим практико-ориентированные геометрические задания линии 11. 11
Пример 30 Высота бака цилиндрической формы равна 40 см, а площадь его основания равна 150 кв. см. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров. Ответ: 6. Пример 31 В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 80 кв. см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах. Ответ: 800. Рассмотрим практико-ориентированные геометрические задания линии 13.
Пример 32 Объём конуса равен 25π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса. Ответ: 5. Пример 33 Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна 3 3 . Найдите объём этой пирамиды. Ответ: 9. Пример 34 В треугольной пирамиде ABCD рёбра AB , AC и AD взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если AB 3 , AC 18 и AD 7 . Ответ: 0,25.
В трёхмерном пространстве объёмы визуально сравнить труднее, чем площади на плоскости. Задачи нужно решать с использованием формул справочных материалов – формул объёма, площади круга, треугольника. Геометрические задачи линии 12 на соотношения в прямоугольном треугольнике представляют трудности для участников экзамена базового уровня. 12
Пример 35 В треугольнике АВС угол С равен 90 , АВ Ответ: 0,4.
29 , ВС 2 . Найдите tg A . A
Пример 36 В треугольнике ABC угол C равен 90 , AB 13 , sin A
12 . Найдите длину 13
стороны AC . Ответ: 5.
Пример 37 В треугольнике ABC угол C равен 90 , AB 8 , AC 2 15 . Найдите cos B . Ответ: 0,25.
К решению задач о прямоугольных треугольниках можно применить следующий алгоритм. 1) Решая прямоугольный треугольник, последовательно находить стороны и углы, которые можно найти непосредственно из условия или из уже найденных ранее. 2) Найдя все стороны и углы, нужно выписать в ответ нужный элемент. Задачи можно решать с использованием формул справочных материалов – теоремы Пифагора и тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Задания линии 14. Нахождение значения выражения. Пример 38 14
Найдите значение выражения
1 3, 6 1. 3
Ответ: 0,2. Пример 39
7 Найдите значение выражения 0,35 : 2. 3 Ответ: 2,15. Задания линии 15. Решение текстовых задач.
Пример 40 Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 20 000 рублей. Какую сумму он получит после уплаты налога на доходы? Ответ дайте в рублях. Ответ: 17 400.
Пример 41 В городе 180 000 жителей, причём 30% из них – пенсионеры. Сколько пенсионеров в этом городе? Ответ: 54 000. Пример 42 Ежемесячная плата за телефон составляет 300 рублей. В следующем году она увеличится на 6%. Сколько рублей будет составлять ежемесячная плата за телефон в следующем году? Ответ: 318. Задания линии 16. Нахождение значений выражений. Пример 43 16
Найдите значение выражения 6
Ответ: 6.
Пример 44 Найдите значение выражения Ответ: 200.
1, 6 10
8 10
10
Пример 45 Найдите значение выражения Ответ: 9.
Задания линии 17. Решение уравнений.
Пример 46 2 Решите уравнение x 3 x . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них. Ответ: 3. Пример 47 2 Решите уравнение x 7 x 8. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из них. Ответ: –1. Пример 48 2 Решите уравнение x 25. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них. Ответ: 5. В заданиях линии 18 нужно установить соответствие между точками координатной прямой и рациональными и иррациональными числами. На этой же позиции может быть задание на решение рациональных, показательных, логарифмических неравенств.
Пример 49 На координатной прямой отмечено число m . m
Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца. ЧИСЛА А) 4 m Б) m 2 В) m 1 2 Г) m
1) 2) 3) 4)
ОТРЕЗКИ 3; 2 0 ; 1 1; 2 3; 4
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер решения. А Б В Г Ответ: Ответ: 4231. Пример 50 На координатной прямой отмечены точки A , B , C и D . A –1
Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами. ТОЧКИ A B C D
ЧИСЛА 1) log 4 0,5 2) 3) 4)
50 11 2 3 5
В таблице для каждой точки укажите номер соответствующего числа. A
Ответ: Ответ: 1432. Пример 51 Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Показана часть текста. Полная версия — в PDF выше.