Рекомендации ФИПИ по самостоятельной подготовке к ЕГЭ по профильной математике (2026)

Текст документа

Текст извлечён из официального PDF ФИПИ автоматически: формулы, таблицы и рисунки могут отображаться неточно — сверяйтесь с документом выше.

Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ обучающимся по организации самостоятельной подготовки к ЕГЭ 2026 года МАТЕМАТИКА

Москва, 2026

Авторы-составители: И.В. Ященко, А.В. Семенов, П.И. Самсонов

Методические рекомендации предназначены для обучающихся 11 класса, планирующих сдавать ЕГЭ 2026 г. по математике. Они содержат полезную информацию от разработчиков контрольных измерительных материалов ЕГЭ для организации самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике базового и профильного уровней. В пособии указаны темы, на освоение/повторение которых целесообразно обратить особое внимание.

Содержание Рекомендации по выполнению экзаменационной работы по математике базового уровня ....................................................................................................... 4 Рекомендации по выполнению экзаменационной работы по математике профильного уровня.............................................................................................. 39 Рекомендации по выполнению заданий части 1 экзаменационной работы по математике профильного уровня ................................................................... 44 Рекомендации по выполнению заданий части 2 экзаменационной работы по математике профильного уровня ................................................................... 70

Рекомендации по выполнению экзаменационной работы по математике базового уровня Дорогие друзья! Скоро вам предстоит сдать единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике. Ваша основная задача — получить достойную оценку на экзамене и аттестат о среднем образовании благодаря хорошей математической подготовке. Подготовка будет эффективной, если вы будете систематически заниматься. Данные рекомендации помогут вам в этом. Экзаменационная работа состоит из 21 задания с кратким ответом базового уровня сложности. На её выполнение отводится 3 часа (180 минут). Ответы к заданиям 1–21 с кратким ответом записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби в бланке ответов № 1. Задания проверяют базовые вычислительные и логические умения и навыки, а также умения анализировать информацию, представленную на графиках и в таблицах, использовать простейшие вероятностные и статистические модели, ориентироваться в простейших геометрических конструкциях. В работу включены задания базового уровня по всем основным предметным разделам: геометрия (планиметрия и стереометрия), алгебра, начала математического анализа, теория вероятностей и статистика. На экзамене разрешается пользоваться только теми справочными материалами, которые выдаются вместе с вариантом контрольных измерительных материалов. При выполнении заданий разрешается пользоваться линейкой. Использовать на экзамене калькулятор нельзя. Максимальное количество первичных баллов, которое может получить участник экзамена за выполнение всей экзаменационной работы, – 21 балл. За правильное выполнение каждого из заданий 1–21 начисляется 1 первичный балл. Для прохождения государственной итоговой аттестации по математике необходимо набрать не менее 7 первичных баллов. При самостоятельной подготовке к экзамену рекомендуется использовать следующую таблицу, включающую все темы и элементы содержания, которые могут быть проверены на едином государственном экзамене по математике (таблица 1). Отметьте, какие темы вы уже изучили/повторили, а какие ещё предстоит изучить/повторить. Так вы сможете спланировать свою подготовку к экзамену.

№ задания

Элементы содержания

Таблица 1 Пройдено Необходимо изучить/ повторить

Алгебра 1 Умение выполнять вычисление значений и преобразования выражений 2 Умения решать текстовые задачи разных типов, исследовать полученное решение и оценивать правдоподобность результатов, оценивать размеры объектов окружающего мира 4 Умения выполнять вычисление значений и преобразования выражений, решать текстовые задачи разных типов 5 Умение вычислять в простейших случаях вероятности событий 6 Умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках 8 Умение проводить доказательные рассуждения 14 Умение выполнять вычисление значений и преобразования выражений 15 Умения выполнять вычисление значений и преобразования выражений, решать текстовые задачи разных типов 16 Умение выполнять вычисление значений и преобразования выражений 19 Умения выполнять вычисление значений и преобразования выражений, решать текстовые задачи разных типов, выбирать подходящий изученный метод для решения задачи Уравнения и неравенства 17 Умение решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения 18 Умения выполнять вычисление значений и преобразования выражений, решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства 5

№ задания

Элементы содержания

Пройдено Необходимо изучить/ повторить

Умения выполнять вычисление значений и преобразования выражений, решать текстовые задачи разных типов, выбирать подходящий изученный метод для решения задачи 20 Умение решать текстовые задачи разных типов и уравнения 21 Умения выполнять вычисление значений и преобразования выражений, решать текстовые задачи разных типов, выбирать подходящий изученный метод для решения задачи Функции 3 Умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках 7 Умения оперировать понятиями «функция», «непрерывная функция», «производная», определять значение функции по значению аргумента, описывать по графику поведение и свойства функции Начала математического анализа 7 Умения оперировать понятиями «функция», «непрерывная функция», «производная», определять значение функции по значению аргумента, описывать по графику поведение и свойства функции Геометрия 9 Умения использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии, оценивать размеры объектов окружающего мира 10 Умение использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии 19

№ задания

Элементы содержания

Пройдено Необходимо изучить/ повторить

Умения решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин, использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы 12 Умение использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии 13 Умения решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин, использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей 3 Умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках 5 Умение вычислять в простейших случаях вероятности событий 11

Рекомендуем вам придерживаться следующих этапов индивидуальной подготовки: 1) определить уровень знаний и умений; 2) определить цель сдачи экзамена; 3) выстроить стратегию подготовки к экзамену; 4) выстроить график подготовки к экзамену.

1. Определить свой уровень знаний и умений

Для подготовки к экзамену нужно определить уровень своих знаний и умений. Нужно решить три–пять разных вариантов, соответствующих демонстрационному варианту 1 ЕГЭ базового уровня 2026 г. На выполнение каждого варианта следует отводить 3 часа. Результаты рекомендуем занести в Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ по математике (базовый уровень), кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования и элементов содержания для проведения единого государственного экзамена по математике и спецификация контрольных измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена по математике (базовый уровень) размещены на сайте ФГБНУ «ФИПИ» в соответствующем разделе или по ссылке: <https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2>. 1

лист достижений, оформленный в виде таблицы, в которой в вертикальных графах представлены номера вариантов, а в строчках — номера заданий, обозначая правильные ответы знаком «+», а неправильные — знаком «–». В таблице 2 приведён фрагмент листа достижений. Таблица 2 Лист достижений Варианты Задания 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 В листе достижений будут видны задания, при выполнении которых возникли трудности (знак «–»). Лист достижений позволит определить уровень подготовки и темы, задания по которым вы решаете всегда правильно, не всегда правильно и не решаете или решаете неверно.

2. Определить цель сдачи экзамена

Для подготовки к экзамену нужно определить цель его сдачи. Для того чтобы пройти государственную итоговую аттестацию (набрать не менее 7 первичных баллов), достаточно выполнить задания первой половины варианта (задания 1–10). Результаты базового ЕГЭ не используются при поступлении в вуз, однако подготовка к сдаче ЕГЭ базового уровня на высокий балл позволит закрепить математические навыки, необходимые в жизни, массовых профессиях, обучении в вузе по специальностям, для которых не требуется ЕГЭ по математике профильного уровня.

3. Выстроить стратегию подготовки к экзамену

Верно сформулированная цель с учётом уровня подготовки позволит спокойно готовиться к экзамену и достичь желаемого результата. Если цель только сдать экзамен, а уровень подготовки базовый, то нужно продолжать выполнять задания, которые хорошо получаются, добиваться верного их решения. При переходе к решению новых задач сначала повторите материал по учебникам, а затем, используя видеоуроки РЭШ, МЭШ и Гиперматику, переходите к решению задач. Обращайте внимание на правильность понимания вами вопроса задания, безошибочности проведённых вычислений. Если цель — успешно учиться в вузе, который не предъявляет специальных требований к уровню математической подготовки абитуриентов, то следует ориентироваться на получение 4 или 5 тестовых баллов (от 12 первичных баллов) при базовом уровне подготовки; нужно верно выполнять все задания варианта. Следует уделять особое внимание вдумчивому чтению условия задач и отработке навыков безошибочного выполнения всех арифметических 8

действий. При подготовке к экзамену все вычисления должны выполняться без калькулятора (как на экзамене). Распечатайте справочные материалы, которыми можно пользоваться на экзамене. В черновике нужно записывать выражение, преобразования выражения с использованием законов сложения и умножения, формул сокращённого умножения (не забывайте про справочные материалы) и вычисления в столбик. В самом решении целесообразно указывать порядок действий, записывать подробно приведение дробей к общему знаменателю, а также сложение, вычитание, умножение и деление дробей. После каждого действия полезно делать проверку обратным действием, поскольку самые распространённые ошибки вычислительные. Если допущена ошибка, то ответ получается неверный, и тогда за выполнение задания выставляется 0 баллов. Для того чтобы набрать не менее 7 первичных баллов, нужно потренироваться выполнять не менее 10 заданий разных линий экзаменационного варианта. С помощью листа достижений выявите те задания варианта, которые вы можете выполнить. Нужно совершенствовать навык их решения до получения стабильно верного результата. Затем следует переходить к тем заданиям, выполнение которых вызывает затруднения, и с помощью учебника и пособий попробовать понять причину затруднения. При выполнении таких заданий простая сверка полученного ответа с эталонным не позволит достичь успеха в решении. При выполнении каждого задания важно пройти все этапы: а) внимательно прочитать условие, выделить в тексте ключевые моменты; б) выполнить вычисления (рассуждения); в) зафиксировать полученный ответ; г) проверить правильность ответа, решив обратную задачу, или подставив корни в уравнение, или оценив полученный ответ прикидкой ожидаемого результата, а при решении задачи проверить реалистичность полученного ответа; д) прочитать ещё раз вопрос в задании и убедиться, что ответ получен именно на него; е) записать ответ в бланк ответов № 1. После прохождения всех этих этапов должно сформироваться внутреннее убеждение: «Я выполнил(а) задание верно!». При выполнении заданий нужно пользоваться справочными материалами. Оптимальная стратегия подготовки к экзамену — набрать из открытого банка заданий ФИПИ разные типы заданий по 10 линиям, из них на каждый день составлять себе тренировочный вариант, выполнять каждое задание, проходя все этапы. Обратите внимание на то, что открытый банк заданий допускает проверку полученного вами ответа. Отдельно изучайте решения аналогичных заданий, которые не получились, выполняйте по ним тренировочные задания. Торопиться при решении не нужно! Времени для выполнения 10 заданий достаточно (180 минут), его хватает и на решение несколько раз, выполняя задание разными способами, и на проверку полученного решения. Справочные материалы могут помочь вам в решении 9

задач, только когда придёт понимание, в каком случае имеет смысл к ним обращаться. В этих справочных материалах нет таблицы умножения, правил выполнения действий с обыкновенными и десятичными дробями, процентами; это нужно знать, не обращаясь к дополнительным вспомогательным материалам. Выполнять задания нужно без справочников, калькулятора. Для получения высокого балла нужно учиться решать все задания варианта. Оптимальная стратегия подготовки к экзамену — работать тематически, используя открытый банк заданий ЕГЭ, размещённый на официальном сайте ФГБНУ «ФИПИ» (https://ege.fipi.ru/bank/index.php?proj=E 040A72A1A3DABA14C90C97E0B6EE7DC), Навигатор самостоятельной подготовки к ЕГЭ (https://fipi.ru/navigator-podgotovki/navigator-ege#ma), надёжные электронные сервисы. Обязательно уделяйте внимание тренировке навыков безошибочного выполнения заданий, в которых Вы уверены. Отдельно выполняйте задания по тем темам, которые усвоены не очень твёрдо. Изучение тем, знания по которым минимальны, и проработку соответствующих позиций варианта экзамена разумно исключить из подготовки. Правильная стратегия подготовки — постепенно добиваться стабильных результатов в определённых темах и заданиях, тогда на экзамене эти задания не покажутся вам сложными. Лист достижений вам в этом поможет.

4. Выстроить график подготовки к экзамену

Заниматься математикой нужно постоянно, желательно каждый день, чередуя повторение тем с решением полных или сокращённых вариантов. Каждое занятие должно включать в себя решение задач по трудным для вас темам и выполнение заданий тренировочных вариантов. Трудным темам надо уделить больше времени — обратиться к учебнику, видеоурокам, пособиям. В период подготовки к экзамену важно накопить опыт решения разных задач. Оптимальный график подготовки к экзамену для тех, кто выбирает «только сдать экзамен»: набрать из открытого банка типы заданий по 10 позициям; из них на каждый день составлять себе тренировочный вариант; выполнять каждое задание в соответствии с указанными выше этапами, засекая время выполнения. Нужно отдельно рассмотреть решение заданий, которые не получились, чтобы вернуться к их решению через какое-то время. Оптимальный график подготовки к экзамену для тех, кто выбирает «высокий балл»: составлять из открытых банков или печатных учебных пособий тренировочные варианты и каждый день выполнять не больше одного варианта, отдельно решая задания по тем темам, которые усвоены плохо. На каждом занятии нужно решать задания как по алгебре, так и по геометрии, чтобы накапливать опыт решения задач. Совершенствовать свои вычислительные навыки В процессе подготовки исключите для себя возможность выполнять любые расчёты с помощью технических средств. Более того, нужно сразу для 10

себя принять, что ответом на любое задание может быть целое число или конечная десятичная дробь. 1 Если, решая задачу, получился ответ , то это сигнал об ошибке 3 1 в решении, а если получена дробь , то её нужно представить в виде 8 десятичной дроби 0,125. Ориентироваться на здравый смысл ответа к задаче Все задачи экзамена ЕГЭ по математике базового уровня имеют реалистичный сюжет. Поэтому, получив число, которое является претендентом на ответ, не спешите записывать его в бланк ответов, а оцените найденное Вами значение с позиций здравого смысла. Например, в задаче нужно было найти количество спасательных шлюпок по 50 мест в каждой для 260 человек, находящихся на корабле. Если разделить 260 на 50, то получится 5,2. Однако ответом будет не число 5 как результат округления, а число 6, поскольку если на борту будет 5 шлюпок по 50 мест, то для 10 человек уже мест не будет. Проверять все результаты в задачах на установление соответствия элементов двух информационных рядов В задачах 2, 7, 18 участнику экзамена необходимо установить соответствие между элементами из двух столбцов. Очень часто, когда три из четырёх соответствий установлены, четвёртое вносят в ответ как само собой разумеющееся. Это неверный подход. Если в установлении первых трёх соответствий была допущена ошибка, то при проверке последнего (четвёртого) она может быть обнаружена, а если проверка не была осуществлена, то и ошибка окажется невыявленной. Поэтому очень важно проверять правильность всех устанавливаемых соответствий. Примеры практико-ориентированных заданий линии 1 Пример 1.1 Стоимость проездного билета на месяц составляет 580 рублей, а стоимость билета на одну поездку — 20 рублей. Аня купила проездной билет и совершила за месяц 41 поездку. На сколько рублей больше она потратила бы, если бы покупала билеты на одну поездку? Ответ: 240. Пример 1.2 В летнем лагере 192 ребёнка и 35 воспитателей. В одном автобусе можно перевозить не больше 28 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из лагеря в город? Ответ: 9. 11

Пример 1.3 В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 3 недели? Ответ: 8. Пример 1.4 В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живёт в квартире №

49. На каком этаже живёт

Петя? Ответ: 9. Примеры практико-ориентированных заданий линии 2

Пример 2.1 Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ ЗНАЧЕНИЯ А) ширина окна 1) 0,1 мм Б) толщина волоса 2) 120 см В) радиус Земли 3) 105 м Г) длина футбольного поля 4) 6400 км В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. Ответ:

А Б В Г

Ответ: 2143. Пример 2.2 Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ ЗНАЧЕНИЯ А) масса грузовой машины 1) 20 мг Б) масса дождевой капли 2) 12 кг В) масса собаки 3) 10 г Г) масса грецкого ореха 4) 8 т В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. Ответ:

А Б В Г

Ответ: 4123.

Пример 2.3 Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ ЗНАЧЕНИЯ А) объём воды в Каспийском море 1) 78 200 км Б) объём комнаты 2) 75 м В) объём ящика для овощей 3) 0,5 л Г) объём банки сметаны 4) 50 л В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. 3

А Б В Г

Ответ: 1243. Пример 2.4 Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ ЗНАЧЕНИЯ А) серебряный норматив ГТО по бегу 1) 45 минут на 100 м для девушек 16–17 лет 2) 30 685 суток Б) время в пути поезда Санкт-Петербург – 3) 16,9 секунды Минеральные Воды 4) 45 часов В) продолжительность урока Г) время одного оборота Урана вокруг Солнца В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. А Б В Г Ответ: Ответ: 3412.

Примеры практико-ориентированных заданий линии 3 Пример 3.1 На диаграмме показано количество посетителей сайта в течение каждого часа 8 декабря 2009 года. По горизонтали указано время (в часах); по вертикали — количество посетителей сайта на протяжении этого часа.

Определите по диаграмме, в течение какого часа на сайте побывало наибольшее количество посетителей. Ответ: 13. Пример 3.2 На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указаны месяцы; по вертикали — температура в градусах Цельсия.

Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в Нижнем Новгороде в 1994 году. Ответ дайте в градусах Цельсия. Ответ: –14. 14

Пример 3.3 На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указаны числа месяца; по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линиями. 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Определите по рисунку наибольшее суточное количество осадков в Элисте за данный период. Ответ дайте в миллиметрах. Ответ: 4,5. Пример 3.4 На рисунке жирными точками показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 3 по 24 октября 2002 года. По горизонтали указаны числа месяца; по вертикали — цена золота в долларах США за унцию. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линиями.

Определите по рисунку наименьшую цену золота на момент закрытия торгов за данный период. Ответ дайте в долларах США за унцию. Ответ: 311.

Примеры практико-ориентированных заданий линии 4 Пример 4.1 Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t F  1,8t C  32, где t C — температура в градусах по шкале Цельсия, t F — температура в градусах по шкале Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 5 градусов по шкале Цельсия? Ответ: 41. Пример 4.2 В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси длительностью меньше 5 минут составляет 150 рублей. Если поездка длится 5 минут или дольше, то её стоимость (в рублях) рассчитывается по формуле C  150  11 t  5  , где t — длительность поездки, выраженная в минутах  t  5 . Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 16-минутной поездки. Ответ дайте в рублях. Ответ: 271. Пример 4.3 В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C  6000  4100n, где n — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 8 колец. Ответ дайте в рублях. Ответ: 38800. Пример 4.4

ab  h, где a и b — длины 2 оснований трапеции, h — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если a = 6, b = 4 и h = 6. Ответ: 30.

Площадь трапеции вычисляется по формуле S 

Примеры практико-ориентированных заданий линии 5 Пример 5.1 На борту самолёта 20 мест рядом с запасными выходами и 12 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Г. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Г. достанется удобное место, если всего в самолёте 400 мест. Ответ: 0,08. Пример 5.2 На чемпионате по прыжкам в воду выступает 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первым будет выступать прыгун из Китая. Ответ: 0,36. Пример 5.3 У бабушки 20 чашек: 4 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами. Ответ: 0,8. Пример 5.4 Научная конференция проводится в четыре дня. Всего запланировано 60 докладов: первые два дня — по 12 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Ответ: 0,3.

Примеры практико-ориентированных заданий линии 6 Пример 6.1 Алексею нужен пылесос. В таблице ниже показаны предложения от разных магазинов и их удалённость от дома Алексея. Номер магазина 1 2 3 4 5 6

Стоимость пылесоса (руб.) 5350 5440 5779 5299 5745 5650

Удалённость от дома Алексея (км) 1,3 2,7 1,1 1,5 1,6 0,7

Алексей хочет купить пылесос в магазине, который находится не дальше 1,2 км от его дома. Найдите наименьшую стоимость пылесоса в магазинах (из представленных), удовлетворяющих данному условию. Ответ дайте в рублях. Ответ: 5650. Пример 6.2 Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Тарифный план Абонентская плата План «0» Нет План «400» 432 руб. за 400 Мб трафика в месяц План «800» 736 руб. за 800 Мб трафика в месяц

Плата за трафик 0,9 руб. за 1 Мб 0,5 руб. за 1 Мб сверх 400 Мб 0,3 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб

Пользователь предполагает, что его трафик составит 650 Мб в месяц, и, исходя из этого, выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 650 Мб? Ответ: 557.

Пример 6.3 Любовь Игнатьевна собирается в туристическую поездку на трое суток в некоторый город. В таблице дана информация о гостиницах в этом городе со свободными номерами на время её поездки. Название гостиницы

Рейтинг гостиницы

«Южная» «Уют-плюс» «Центральная» «Вокзальная» «Турист» «Эльдорадо»

Расстояние до центральной площади (км) 1,5 2,3 2,7 2,9 2,2 3,1

Цена номера (руб. за сутки) 3700 3200 3100 3000 3150 3000

Любовь Игнатьевна хочет остановиться в гостинице, которая находится не дальше 2,4 км от центральной площади города и цена номера в которой не превышает 3500 рублей за сутки. Среди гостиниц, удовлетворяющих этим условиям, выберите гостиницу с наивысшим рейтингом. Сколько рублей стоит проживание в этой гостинице в течение трёх суток? Ответ: 9600. Пример 6.4 В таблице приведены данные о шести чемоданах. Номер чемодана 1 2 3 4 5 6

Длина (см)

Высота (см)

Ширина (см)

Масса (кг)

По правилам авиакомпании сумма трёх измерений (длины, высоты, ширины) чемодана, сдаваемого в багаж, не должна превышать 203 см, а масса не должна быть больше 23 кг. Какие чемоданы можно сдать в багаж по правилам этой авиакомпании? В ответе укажите номера всех выбранных чемоданов без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: 16.

Практико-ориентированные задания линии 7 — о свойствах функций. В одних задачах может быть предложено исследование элементарных свойств функции по её графику, а в других — исследование, связанное с понятием производной и с касательной к графику функции. Пример 7.1 На рисунке точками показано потребление воды городской ТЭЦ на протяжении суток. По горизонтали указано время; по вертикали — объём воды в кубометрах в час. Для наглядности точки соединены линией. 70 60 50 40 30 20 10 0 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику потребления данной ТЭЦ воды в течение этого периода. ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ А) ночь (с 0 до 6 часов) Б) утро (с 6 до 12 часов) В) день (с 12 до 18 часов) Г) вечер (с 18 до 24 часов)

ХАРАКТЕРИСТИКИ 1) Потребление воды падало в течение всего периода. 2) Потребление воды достигло максимума за сутки. 3) Отмечен наибольший рост потребления воды за сутки. 4) Потребление воды сначала падало, а потом росло.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:

А Б В Г

Ответ: 4321.

Пример 7.2 На рисунке точками показан годовой объём добычи угля в России открытым способом в период с 2001 по 2010 год. По горизонтали указан год; по вертикали — объём добычи угля в миллионах тонн. Для наглядности точки соединены линиями. 250 225 200 175 150 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику добычи угля в этот период. ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ А) 2002–2004 гг. Б) 2004–2006 гг. В) 2006–2008 гг. Г) 2008–2010 гг.

ХАРАКТЕРИСТИКИ 1) В течение периода объём добычи сначала уменьшался, а затем стал расти. 2) Объём добычи ежегодно составлял меньше 190 млн т. 3) Объём добычи равномерно рос в течение периода. 4) Объём добычи в первые два года почти не менялся, а затем значительно вырос.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:

А Б В Г

Ответ: 2341.

Пример 7.3 Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке [1; 1] . ГРАФИКИ y А)

–1 0

–1 0

–1 0

–1 0

ХАРАКТЕРИСТИКИ 1) На отрезке [ 1; 1] функция убывает. 2) В каждой точке отрезка [ 1; 1] функция принимает отрицательное значение. 3) На отрезке [ 1; 1] функция возрастает. 4) В каждой точке отрезка [ 1; 1] функция принимает положительное значение. В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:

А Б В Г

Ответ: 2134.

Пример 7.4 На графике изображена зависимость скорости погружения батискафа от времени. На вертикальной оси отмечена скорость (в м/с); на горизонтальной — время (в секундах), прошедшее с начала погружения. 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику погружения батискафа на этом интервале. ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ А) 0–60 c Б) 60–120 c В) 120–180 c Г) 180–240 c

В таблице под характеристики. Ответ:

каждой

ХАРАКТЕРИСТИКИ 1) скорость погружения не меньше 0,3 м/с на всём интервале 2) скорость погружения постоянно росла 3) в течение 30 секунд подряд батискаф оставался на одной глубине 4) скорость погружения не больше 0,1 м/с на всём интервале буквой

укажите

соответствующий

номер

А Б В Г

Ответ: 4213.

Примеры практико-ориентированных заданий линии 8 Пример 8.1 В жилых домах, в которых больше 12 этажей, установлены электрические плиты, газовые плиты не устанавливаются. Выберите все утверждения, которые верны при приведённом условии. 1) Если в доме установлены газовые плиты, то в нём не больше 12 этажей. 2) Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме меньше 13 этажей. 3) Если в доме больше 17 этажей, то в нём установлены газовые плиты. 4) Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме больше 13 этажей. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: 12. Пример 8.2 Перед футбольным турниром измерили рост игроков футбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из футболистов этой команды больше 170 см и меньше 190 см. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) В футбольной команде города N обязательно есть игрок, рост которого равен 160 см. 2) В футбольной команде города N нет игроков с ростом 169 см. 3) Разница в росте любых двух игроков футбольной команды города N составляет больше 20 см. 4) Рост любого футболиста этой команды меньше 190 см. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: 24.

Пример 8.3 В фирме работает 100 человек, из них 70 человек знают португальский язык, а 50 — французский. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Если человек из этой фирмы знает португальский язык, то он знает и французский. 2) В этой фирме хотя бы пять человек знают и португальский, и французский языки. 3) Нет ни одного человека в этой фирме, знающего и португальский, и французский языки. 4) Не больше 50 человек из этой фирмы знают и португальский, и французский языки. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: 24. Пример 8.4 Хозяйка к празднику купила торт, ананас, сок и мясную нарезку. Торт стоил дороже ананаса, но дешевле мясной нарезки, сок стоил дешевле торта. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Мясная нарезка была самой дорогой из покупок. 2) За сок хозяйка заплатила больше, чем за мясную нарезку. 3) Ананас стоил дешевле мясной нарезки. 4) Торт был самым дешёвым из покупок. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ: 13.

Примеры практико-ориентированных заданий линии 9 Пример 9.1 План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м  1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. Ответ: 8.

Пример 9.2 План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м  1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. Ответ: 20.

Пример 9.3 План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м  1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. Ответ: 21. Пример 9.4 План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м  1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. Ответ: 15.

Рассмотрим линии, на которые необходимо обратить особое внимание при подготовке к экзамену. Практико-ориентированные задания по геометрии линии 10 на вид не представляют особой сложности, но необходимо быть внимательным при работе с геометрическими величинами, уделять особое внимание размерности, аккуратно проводить выкладки. Примеры практико-ориентированных заданий линии 10 Пример 10.1 Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 22 м и 30 м. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах. Ответ: 126.

30 м

22 м

Пример 10.2 Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 м и 30 м. Хозяин отгородил на участке квадратный вольер со стороной 15 м (см. рисунок). Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ дайте в квадратных метрах. Ответ: 525. Пример 10.3 Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 35 м и 75 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно обнести участок, предусмотрев проезд шириной 4 м. Ответ: 216.

15 м 25 м

30 м

75 м

Пример 10.4 Участок земли для строительства дачи имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 40 м и 30 м. Одна из бóльших сторон участка идёт вдоль реки, а три остальные стороны нужно обнести забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах. Ответ: 100.

35 м

40 м 30 м

Рисунок в геометрической задаче нужно воспринимать как изображение взаимного расположения элементов, но нельзя относиться к нему как чертежу, где соблюдены все размеры. При подготовке к экзамену можно сделать свой рисунок, отметив все известные элементы, и уже с использованием этого рисунка следует решать задачу — находить площадь, сумму длин, и только потом нужно отвечать на вопрос задания. Геометрические задачи линий 11 и 13 на расчёт элемента фигуры в пространстве представляют определённые трудности для участников экзамена базового уровня. Тем не менее, даже если участник экзамена испытывал трудности при изучении систематического курса стереометрии, отработка решения указанных заданий с использованием открытого банка и надёжных электронных ресурсов позволит освоить необходимые, в том числе для реальной жизни, пространственные навыки. Примеры практико-ориентированных заданий линии 11 Пример 11.1 Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах. Ответ: 21. Пример 11.2 Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре раза ниже второй, а вторая — в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём второй коробки больше объёма первой? Ответ: 9. Пример 11.3 В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров. Ответ: 2000. 28

Пример 11.4 Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 108.

Примеры практико-ориентированных заданий линии 13 Пример 13.1 Объём конуса равен 6π, а радиус его основания равен 1. Найдите высоту конуса. Ответ: 18.

Пример 13.2 Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 9 и

4. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен

48. Ответ: 4. Пример 13.3 Даны два шара радиусами 7 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего? Ответ: 343.

Пример 13.4 Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 8, а второго — 12 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго цилиндра? Ответ: 2.

В трёхмерном пространстве объёмы визуально сравнить труднее, чем площади на плоскости. Задачи нужно решать с использованием формул из справочных материалов. Геометрические задачи линии 12 на различные соотношения в треугольнике представляют трудности для участников экзамена базового уровня. Рассмотрим примеры заданий, связанных с прямоугольным треугольником. Примеры геометрических заданий линии 12 Пример 12.1 В треугольнике АВС угол С равен 90, АВ  29, ВС  2 . Найдите tg A . Ответ: 0,4.

Пример 12.2 В треугольнике ABC угол C равен 90, AB  13, sin A 

12 . 13

Найдите длину стороны AC. Ответ: 5. Пример 12.3

На окружности отмечена точка C . Отрезок AB — диаметр окружности, AC  20, BC  21. Найдите радиус окружности.

Ответ: 14,5. Пример 12.4 В треугольнике ABC угол C равен 90, AC  2 15 . Найдите cos B . Ответ: 0,25.

AB  8,

К решению задач о прямоугольных треугольниках можно применить следующий алгоритм. 1. Решая прямоугольный треугольник, нужно последовательно находить стороны и углы, которые можно найти непосредственно из условия или найденных ранее. 2. Найдя все стороны и углы, надо записать в ответе нужный элемент. Задачи можно решать с использованием формул справочных материалов — теоремы Пифагора и определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. 30

Задания линии 14 требуют нахождения значения выражения. При подготовке к решению этих задач следует обратить внимание на повторение понятий обыкновенной и десятичной дробей и на правильное выполнение вычислений, избегая устного счёта. Примеры алгебраических заданий линии 14 Пример 14.1 Найдите значение выражения Ответ: 2,5. Пример 14.2 Найдите значение выражения

5 5 2   . 6 2 3

13 1 2 :  . 3 3 7

Ответ: 7. Пример 14.3 Найдите значение выражения  3,1  3,4   3,8 . Ответ: 24,7. Пример 14.4 Найдите значение выражения

2,4 . 5,4  7,8

Ответ: –1. Задания линии 15 нацелены на решение простейших практикоориентированных текстовых задач. При решении этих задач важно не просто выполнять действия, а проверять полученный ответ на «здравый смысл», что позволит избежать ошибок. Примеры практико-ориентированных заданий линии 15 Пример 15.1 Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5 %. Книга стоит 280 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу? Ответ: 266. Пример 15.2 Пачка сливочного масла стоит 275 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 20 %. Сколько рублей стоит пачка масла для пенсионера? Ответ: 220.

Пример 15.3 Из 2500 выпускников школ города 80 % правильно решили задачу № 1. Сколько выпускников школ этого города правильно решили задачу № 1? Ответ: 2000. Пример 15.4 Банк начисляет на срочный вклад 14 % годовых. Вкладчик положил на счёт 9000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет? Ответ: 10 260. Задания линии 16 требуют нахождения значений рациональных, иррациональных, тригонометрических, логарифмических и показательных выражений. Примеры алгебраических заданий линии 16 Пример 16.1 Найдите значение выражения Ответ: 5.

2,5  10.

Пример 16.2 Найдите значение выражения

150 . 6

Ответ: 5. Пример 16.3 2 Найдите значение выражения log 11 11 . Ответ: 4. Пример 16.4 Найдите значение выражения log 2112  log 27. Ответ: 4. Задания линии 17 нацелены на решение линейных, квадратных, рациональных, показательных, логарифмических уравнений. Примеры алгебраических заданий линии 17 Пример 17.1 Найдите корень уравнения 3  4  7  5x   9 x  9. Ответ: 2. 32

Пример 17.2 Найдите корень уравнения 4  2x  4x  5. Ответ: 0,5. Пример 17.3 Решите уравнение x 2  3 x  18  0. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них. Ответ: 3. Пример 17.4

x9 1 Найдите корень уравнения 1  .

Ответ: 13. В заданиях линии 18 нужно установить соответствие между точками координатной прямой и рациональными, иррациональными числами. На этой же позиции может быть задание на решение рациональных, показательных, логарифмических неравенств. При подготовке рекомендуется не только выполнять задания, аналогичные экзаменационным, но и повторять решения простейших неравенств всех типов. Примеры алгебраических заданий линии 18 Пример 18.1 Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. НЕРАВЕНСТВА x3 0 А)  x  62 Б)  x  3 x  6   0  x2

В) 5

 0,2

Г) log 3  x  3   1

РЕШЕНИЯ 1)   ; 3    6;    2)  3; 6    6;    3)  3; 6  4)   ; 3 

Запишите в приведённой в ответе соответствующий решению номер. Ответ:

таблице

каждой

буквой

А Б В Г

Ответ: 2143.

Пример 18.2 Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. НЕРАВЕНСТВА А) 4 x7  16 1 Б)  х  5  х  1  0 В) log 4 x  0 Г)

РЕШЕНИЯ 1) x  1 2) 1  x  5 3) x  5 4) x  1 или x  5

x 1 0 x 5

Запишите в приведённой в ответе соответствующий решению номер. Ответ:

таблице

каждой

буквой

А Б В Г

Ответ: 3412. Пример 18.3 Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ x А) 2  0,25 1)  5;    Б) log 5 x  1 2)  2;    2  x  2 3)  2; 5  В) 0 x5 4)   ; 2    2; 5  Г)  x  5  x  2   0 Запишите в приведённой в ответе соответствующий решению номер. Ответ:

таблице

каждой

буквой

А Б В Г

Ответ: 2143.

Пример 18.4 На координатной прямой отмечены точки A , B , C и D.

A –3

B –2

Число m равно 0,15. Каждой из четырёх точек в левом столбце соответствует число, которое является её координатой. Установите соответствие между точками и числами из правого столбца. ТОЧКИ ЧИСЛА A 1) 4m B 2) m 2 C 1 3)  D m 4) m  1 Запишите в приведённой в соответствующий числу номер. Ответ:

ответе

таблице

каждой

точкой

B C D

Ответ: 3421. В заданиях линии 20 проверяется умение решать текстовые задачи. Несмотря на то что в задании требуется лишь привести краткий ответ, решая данную задачу как при подготовке, так и на экзамене, рекомендуется полностью провести решение задачи на черновике, включая составление модели, решение полученного уравнения, проверку ответа. Примеры алгебраических заданий линии 20 Пример 20.1 Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 18 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 306 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 34. Пример 20.2 Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, вторую треть — со скоростью 150 км/ч, а последнюю — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 60. 35

Пример 20.3 Из городов A и B, расстояние между которыми равно 320 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 170 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 75. Пример 20.4 Расстояние между городами A и B равно 610 км. Из города A в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах. Ответ: 250. Задачи линий 19 и 21 требуют организованного перебора вариантов или логического анализа. Эти задания проверяют умение работать с числами, записанными по разрядам, знание признаков делимости. Примеры заданий линии 19

Пример 19.1 Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 45, все цифры которого различны и чётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число. Ответ: в ответе нужно записать одно из чисел: 6840; 6480; 4860; 4680; 8640; 8460. Пример 19.2 Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число. Ответ: в ответе нужно записать одно из чисел: 222000; 220200; 202200. Пример 19.3 Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число. Ответ: в ответе нужно записать одно из чисел: 1152; 1512; 5112. Пример 19.4 Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 4 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого больше 4. В ответе запишите какоенибудь одно такое число. Ответ: в ответе нужно записать одно из чисел: 757; 565; 577; 685; 877; 697; 865; 997; 769; 589; 889; 985. Задание линии 19 творческое, конструктивное, требующее не столько фантазии, сколько тщательного системного подбора, основанного на владении свойствами целых чисел. Если не использовать алгебраические соображения, то одно какое-либо число, удовлетворяющее всем условиям, можно найти за 5–10 минут простым перебором. Нужно обращать внимание на умение 36

выполнять организованный, последовательный перебор вариантов, а затем — перебор условий, которым должно удовлетворять число-кандидат. Прежде чем записать в ответе полученное число, целесообразно ещё раз проверить, удовлетворяет ли оно всем требованиям, указанным в условии задачи. Задания линии 21 — интересные задачи на сообразительность и логику. Примеры заданий линии 21

Пример 21.1 Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева – 10 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания? Ответ: 9. Пример 21.2 В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:  за две золотые монеты получить три серебряные и одну медную;  за пять серебряных монет получить три золотые и одну медную. У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? Ответ: 10. Пример 21.3 Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (Во всех подъездах количество квартир на этаже одинаково, нумерация квартир в доме начинается с единицы.) Ответ: 5. Пример 21.4 В доме всего девятнадцать квартир с номерами от 1 до 19. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 16 человек, а в квартирах с 9-й по 19-ю включительно живёт суммарно 29 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме? Ответ: 37. Для успешного выполнения этих заданий требуется уметь применять различные пути решения, а это вырабатывается при решении задач углублённого уровня на протяжении нескольких лет обучения, а также требуется внимательно прочитать условие задачи и провести организованный перебор вариантов, обращая внимание на проверку полученного ответа. Желаем успеха на экзамене! 37

Рекомендации по выполнению экзаменационной работы по математике профильного уровня Дорогие друзья! Скоро вам предстоит сдать единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике. Ваша основная задача — получить результат, который позволит поступить на выбранную специальность вуза. Подготовка будет эффективной, если вы будете систематически заниматься. Данные рекомендации помогут вам в этом. КИМ ЕГЭ 2026 г. по математике профильного уровня состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Все линии заданий преемственны по отношению к предыдущей экзаменационной модели. Рекомендуем вам придерживаться следующих этапов индивидуальной подготовки.

1. Определение своего уровня подготовки

Для подготовки к экзамену нужно выяснить, какой балл был необходим в прошлом году для поступления на выбранную специальность вуза, определить уровень своих знаний и умений, при необходимости следует скорректировать свои планы, чтобы цель была реалистичной. Попробуйте выполнить три–пять из числа размещённых на сайте ФИПИ открытых и демонстрационного вариантов; посмотрите, какие задачи получается решить легко, в решении каких возникают трудности, а решение каких оказалось возможным только после ознакомления с критериями. Начните подготовку с решения тех задач, которые получаются лучше всего, для этого вы можете использовать открытый банк заданий ФИПИ 2 , РЭШ, МЭШ и Гиперматику. После повторения соответствующих приёмов и методов решения задач по учебнику, рассмотрения решения задач на платформе Гиперматика, постепенно включайте в свои занятия по самоподготовке решение тех задач, которые раньше вызвали у вас затруднения. Обращайте внимание на ключевые этапы решения задачи, которые позволили получить верный результат, выделяйте для себя те подходы, которые оказались эффективными. Каждая задача может быть решена разными методами; это может помочь вам не только в решении новых и незнакомых задач, но и в выполнении проверки полученного решения и ответа.

См.: <https://ege.fipi.ru/bank/index.php?proj=E040A72A1A3DABA14C90C97E0B6EE7DC>. 39

2. Внимание к задачам, которые получается верно решать

Статистика результатов экзамена свидетельствует об очень досадном явлении. Участник ЕГЭ по математике профильного уровня получает максимальное количество первичных баллов за каждую задачу части 2, но 100 баллов в итоге у него нет, потому что он допустил ошибку в двух-трёх заданиях части 1. Парадокс — решивший верно последнюю задачу в варианте допускает арифметическую ошибку в первой задаче! Вы должны помнить, что любая верно решённая задача экзаменационной работы, в том числе и из части 1, приносит баллы. Уделяйте внимание задачам, которые хорошо получается решать, совершенствуйте навык их решения. Этот же подход позволит сэкономить время на решение других содержательных задач.

3. Достоверный источник заданий для тренировки

Доверяйте только надёжному источнику заданий, из которого вы выбираете задания для своей подготовки. Повторение, систематизация и обобщение знаний наиболее результативны, позволяют правильно выявить дефициты в подготовке к экзамену, если все задания соответствуют требованиям этого экзамена. На сайте ФИПИ размещён открытый банк заданий ЕГЭ по математике профильного уровня, из которого формируется часть 1 экзаменационной работы. Кроме того, в открытом банке заданий ФИПИ представлены задачи из части 2 экзаменационной работы, которые ранее были использованы при проведении экзамена. Они помогут вам оценить свой уровень подготовки, составить соответствующий тренажёр, решить несколько типовых заданий, совершенствовать часто встречающиеся методы решения, получить уверенность в их посильности.

4. Тематическое повторение при подготовке к экзамену

Не увлекайтесь выполнением заданий тренировочных вариантов ЕГЭ по математике профильного уровня. Решение варианта может помочь вам выстроить стратегию в последовательности решаемых задач, целесообразную именно для вас, в планировании времени на экзамене, научиться сосредоточиваться на решении задач. Для текущей подготовки следует ориентироваться на тематическое повторение. Например, логарифмическая функция и её свойства могут быть представлены в следующих заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня: 6 и 13 (решить уравнение), 7 (найти значение выражения), 9 (найти значение заданной величины), 11 (найти значение функции), 12 (исследовать функцию) и 15 (решить неравенство). Таким образом, если повторение будет иметь тематический характер, то оно обеспечит универсальность в подготовке к экзамену.

Тематическое повторение представлено в таблице 3.

может

быть,

например,

таким,

Таблица 3 Тема

Номер задания в соответствии с демонстрационным вариантом ЕГЭ 2026 г. по математике профильного уровня Показательная функция и её свойства 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15 Логарифмическая функция и её свойства 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15 Тригонометрические функции и их 6, 7, 9, 11, 12, 13 свойства Иррациональные выражения 6, 7, 9, 11, 12 Теория вероятностей 4, 5 Исследование функций 8, 12 Задачи по геометрии 1, 2, 3, 14, 17 Решение задач на составление уравнений 10 Для повторения, обобщения и систематизации знаний разумно решать сокращённые тренировочные варианты по пять–семь заданий (из них одна-две задачи из части 2).

5. Непрерывное совершенствование вычислительных навыков

На экзамене нельзя использовать калькулятор или любое другое техническое средство, упрощающее или убыстряющее вычисления, поэтому ни на каком из занятий у вас не должно быть соблазна им воспользоваться. Отложите калькулятор в сторону. Все вычисления выполняйте на листе бумаги (черновике). При этом совершенствуйте технику проведения вычислений. Не спешите найти числовой результат, сразу перемножая, деля или складывая числа. Спрогнозируйте последовательность необходимых арифметических действий на несколько шагов вперёд. Возможно, для решения задачи и не потребуется проведение трудоёмких подсчётов. Рассмотрим в качестве примера такую задачу. Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне Т п = 15 °С, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m = 0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры Т В = 90 °С до температуры T, причём T T ст Вт  с Вт x   log 2 в п , где c  4200 — теплоёмкость воды,   28 —  T  Tп кг C мс коэффициент теплообмена, а  = 1,6 — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 144 м.

После анализа условия задачи и выполнения подстановки указанных значений в закон зависимости будет получено уравнение относительно T: 4200  0,3 90  15 144  1,6   log 2 . 28 T  15 Обратим внимание на то, что сначала можно выполнить преобразование, ведущее к арифметическим действиям с целыми числами, и упростить выражение под знаком логарифма: 16  42  3 75 144  log 2 . 28 T  15 Следующим шагом можно сократить дробь (как коэффициент перед логарифмом) на 7 и 4: 75 144  4  6  3  log 2 . T  15 Теперь удобно обе части полученного уравнения разделить последовательно на числа 12 и 6: 75 75 12  6  log 2 ; 2  log 2 . T  15 T  15 После определения логарифма числа перейдём к решению уравнения с использованием свойства пропорции: 75  4, 4  T  15  75, 4T  135, T  33,75. T  15 Спланированная последовательность действий позволила не прибегать к трудоёмким вычислениям и решить задачу.

6. Использование преимущества разных подходов к решению одной и той же задачи

Одна и та же математическая задача может быть решена разными способами. Это обстоятельство является подспорьем участнику экзамена. С одной стороны, предоставляется возможность, решив задачу по-разному, проверить верность полученного результата. С другой стороны, знание разных способов решения позволяет выбирать для конкретной задачи самый рациональный и экономить время, отведённое на решение всех экзаменационных задач. Кроме того, при встрече с незнакомой задачей появляется возможность попробовать разные подходы к решению. Например, если предложена задача найти значение выражения 11 x  6 6 x   3x  2 при x  3, то её можно решить разными способами. x x Можно сразу выполнить подстановку числа 3 вместо переменной x и далее выполнять преобразования числового выражения. Можно предварительно привести обе дроби к общему знаменателю x. Однако можно поступить иначе: сократить вторую дробь и уже после этого привести обе дроби к общему знаменателю и в завершении всех преобразований выполнить подстановку заданного значения переменной: 42

11 x  6 6 x 11 x  6 6 11 x   3x  2    3x  2   3x  2  11  3x  2  x x x x x  9  3x; 9  3  3  18. Такое решение показывает, что предложенная задача допускает простой подход в её решении, на этапе подготовке к экзамену разумно уделять внимание наиболее рациональным способам решения задач. На экзамене же это не имеет значения; важно, чтобы задача была решена верно. Рассмотрим ещё один пример. По заданному на рисунке графику функции f  x   a x  b необходимо найти значение f  4  .

Если придерживаться прямолинейного подхода решения задачи, то координаты (2; 1) и (3; 5) «выделенных» на графике функции точек необходимо поставить в функцию и предварительно решить составленную a 2  b  1, систему уравнений  Однако для её решения придётся решать 3 a  b  5. уравнение третьей степени, что не так-то просто. Между тем если проанализировать график заданной функции, то можно найти другие, более удобные точки — (0; –2), (1; –1), принадлежащие ему, и подстановка их координат приведёт к решению существенно более простой системы 1  b   2, b   3, уравнений:  1 откуда: f  4   24  3  13. При этом знание  a  b  1; a  2, координат точек графика функции (2; 1) и (3; 5) помогает проверить, что функция f  x   2 x  3 найдена верно.

7. Проверка полученного ответа

Получив ответ для предложенной задачи, не спешите вносить его в бланк ответов. Подумайте, как проверить его и убедиться, что задача решена верно. Если решали уравнение, то можно выполнить подстановку найденного корня; если решали задачу на движение, то помните, что скорость пешехода не может быть больше скорости поезда.

Интерпретация и оценка полученного результата очень важны в задачах, где требуется найти наибольшее значение, — оно должно достигаться. Например, если в задаче нужно найти наибольшее время, в течение которого электроприбор может нагреваться, и получены два положительных значения, то, перед тем как записать ответ, необходимо ещё раз проанализировать всю информацию, содержащуюся в условии задачи. Обратимся для примера к задаче из открытого банка заданий. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T  t   T0  bt  at 2 , где t — время (в минутах), T0  1400 K, a  10 K/мин2, b  200 K/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1760 K прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах. Обычно путь решения состоит в том, что участник экзамена составляет уравнение 1760  1400  200t  10t 2. Из него получает приведённое квадратное уравнение t 2  20t  36  0, корень которого t  18 или t  2. Поставленный в задаче вопрос требует найти наибольшее время, и возникает предпосылка для получения неверного ответа – числа 18, так как из двух найденных корней: 2 и 18 — число 18 наибольшее. Между тем этот ответ неверен в силу физического смысла задачи. В ситуации непрерывного нагревания 2 – критичное значение, после которого прибор нужно будет выключать. Поэтому правильный ответ — число 2. А наибольшее время в данной ситуации означает, что прибор можно выключить и раньше, но через 2 минуты его выключить следует обязательно, иначе он сломается. Рекомендации по выполнению заданий части 1 экзаменационной работы по математике профильного уровня Часть 1 содержит 7 заданий базового уровня (задания 1–4, 6–8) и 5 заданий повышенного уровня (задания 5, 9–12), в которых ответ необходимо записать в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Они проверяют вычислительные и логические умения и практические навыки применения математических знаний в повседневных ситуациях, в том числе умения использовать простейшие вероятностные и статистические модели, ориентироваться в простейших геометрических конструкциях. В часть 1 работы включены задания по всем основным разделам курса математики: геометрия (планиметрия и стереометрия), алгебра, начала математического анализа, теория вероятностей и статистика.