Номер 55 — Геометрия 10 класс

Докажите, что если прямая a пересекает плоскость α, то она пересекает также любую плоскость, параллельную данной плоскости α.

1. Пусть β ∥ α и a пересекает α в точке A. Прямая a не лежит в β (иначе a ⊂ β не имела бы общих точек с α).
2. Если бы a ∥ β, то через точку A проходила бы... возьмём в β точку B и проведём плоскость γ через a и B. γ пересекает α по прямой c через A и β по прямой d через B; c ∥ d (линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью). В плоскости γ прямая a пересекает c и потому пересекает параллельную ей прямую d, то есть имеет общую точку с β. Итак, a пересекает β.