Многогранники

Что такое многогранник

Многогранник — это пространственное тело, поверхность которого состоит из плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а вершины многоугольников — вершинами многогранника. В школьном курсе главные многогранники — призма, параллелепипед и пирамида.

Призма

Призма — многогранник, у которого два равных и параллельных основания (многоугольники), а боковые грани — параллелограммы. Если боковые рёбра перпендикулярны основаниям, призму называют прямой. Частный случай прямой призмы с прямоугольником в основании — параллелепипед, а с квадратными гранями — куб.

Пирамида

Пирамида — многогранник, у которого одно основание (многоугольник), а боковые грани — треугольники с общей вершиной. Высота пирамиды — перпендикуляр из вершины на плоскость основания. В правильной пирамиде в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проектируется в его центр. Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведённую из вершины, называют апофемой — её не следует путать с высотой всей пирамиды.

Грани, рёбра и развёртка

У каждого многогранника есть удобная характеристика — развёртка: если поверхность разрезать по рёбрам и развернуть на плоскость, получится плоская фигура из всех граней. По развёртке наглядно видно, из каких многоугольников составлено тело, и легко вычислить площадь полной поверхности — достаточно сложить площади всех граней. Например, развёртка куба — это шесть равных квадратов, а развёртка пирамиды — многоугольник-основание с приклеенными к его сторонам треугольниками.

Тело	Объём	Площадь поверхности
Прямая призма	V = S·h	S = 2S(осн) + P·h
Параллелепипед	V = abc	S = 2(ab+bc+ac)
Пирамида	V = ⅓·S·h	S = S(осн) + S(бок)

Здесь S — площадь основания, h — высота, P — периметр основания. Развёртка — это все грани, разложенные на плоскости; по ней удобно считать площадь поверхности.

Пример

Прямоугольный параллелепипед: a = 3, b = 4, c = 5. 1) Объём: V = a·b·c = 3·4·5 = 60. 2) Площадь поверхности: S = 2(ab + bc + ac) = 2(12 + 20 + 15) = 2·47 = 94. 3) Диагональ: d = √(a²+b²+c²) = √(9+16+25) = √50 ≈ 7,07. Пирамида: квадрат в основании со стороной 6, высота 4. Объём: V = ⅓·S(осн)·h = ⅓·(6·6)·4 = ⅓·36·4 = 48.

Главная ошибка. В формуле объёма пирамиды забывают множитель ⅓: объём пирамиды втрое меньше объёма призмы с тем же основанием и высотой. Ещё путают высоту пирамиды (перпендикуляр к основанию) с боковым ребром или апофемой — это разные отрезки.

Кратко о главном

• Многогранник состоит из граней, рёбер и вершин.
• Призма: два равных параллельных основания; объём V = S·h.
• Пирамида: одно основание и треугольные боковые грани; V = ⅓·S·h.
• Развёртка помогает находить площадь поверхности.