Перпендикулярность
📏 Геометрия · 10 класс
Перпендикулярность в пространстве
В стереометрии важны три понятия перпендикулярности: перпендикулярность прямых, перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей. Они лежат в основе вычисления расстояний и углов в пространстве.
Перпендикуляр к плоскости
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Достаточно двух прямых — проверять все не нужно.
Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, — это отрезок от точки до плоскости, лежащий на перпендикулярной прямой. Его длина — это расстояние от точки до плоскости. Отрезок от той же точки до любой другой точки плоскости называется наклонной.
Угол между прямой и плоскостью
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Он всегда не превосходит 90°. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен 90°; если параллельна — 0°.
Двугранный угол
Двугранный угол — фигура из двух полуплоскостей с общей прямой (ребром). Его величину измеряют линейным углом: в любой точке ребра проводят два луча, перпендикулярных ребру, по одному в каждой грани. Две плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен 90°.
| Понятие | Определение | Чем измеряют |
|---|---|---|
| Прямая ⊥ плоскости | ⊥ всем прямым плоскости | Признак: ⊥ двум пересекающимся |
| Угол прямой и плоскости | Угол с проекцией прямой | От 0° до 90° |
| Двугранный угол | Две полуплоскости с общим ребром | Линейный угол |
Пример
Из точки A проведён перпендикуляр AO к плоскости,
AO = 3 (расстояние до плоскости).
Из A проведена наклонная AB, её проекция OB = 4.
1) Длина наклонной (по Пифагору в треугольнике AOB,
угол O = 90°):
AB = √(AO² + OB²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
2) Угол между наклонной AB и плоскостью —
это угол ABO:
tg(угла) = AO/OB = 3/4 = 0,75 → угол ≈ 36,9°.
Запомни. Чтобы доказать перпендикулярность прямой и плоскости, достаточно проверить перпендикулярность ДВУМ ПЕРЕСЕКАЮЩИМСЯ прямым плоскости. Перпендикуляр всегда короче любой наклонной из той же точки — это и есть кратчайшее расстояние до плоскости.
Кратко о главном
- Прямая ⊥ плоскости, если перпендикулярна двум пересекающимся прямым в ней.
- Перпендикуляр из точки — кратчайшее расстояние до плоскости.
- Угол прямой с плоскостью — угол с её проекцией (0°–90°).
- Двугранный угол измеряют линейным углом; 90° — перпендикулярные плоскости.
- Наклонная всегда длиннее перпендикуляра, опущенного из той же точки.