Номер 59 — Геометрия 10 класс

Докажите, что через точку A, не лежащую в плоскости α, проходит плоскость, параллельная плоскости α, и притом только одна.

1. Существование. В плоскости α возьмём две пересекающиеся прямые a и b. Через точку A проведём прямые a₁ ∥ a и b₁ ∥ b. Плоскость β, проходящая через a₁ и b₁, параллельна α по признаку параллельности плоскостей (a₁ ∥ α и b₁ ∥ α).
2. Единственность. Пусть β′ — другая плоскость через A, параллельная α. По задаче 56 прямые a₁ и b₁ (проходящие через A и параллельные α) лежат в β′, значит β′ содержит a₁ и b₁ и совпадает с β.