Векторы в пространстве

Что такое вектор в пространстве

Вектором называют направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая концом. В пространстве вектор задаётся так же, как и на плоскости: у него есть длина (модуль) и направление. Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначают AB со стрелкой сверху или одной малой буквой, например a.

Главное отличие пространственных векторов от плоских в том, что теперь они могут не лежать в одной плоскости. Это приводит к новому важному понятию — компланарности.

Равные и противоположные векторы

Два вектора называют равными, если они имеют одинаковую длину и одинаково направлены (сонаправлены). Длина вектора a обозначается |a|. Вектор, длина которого равна нулю, называют нулевым; его направление не определено.

Действия над векторами

Над векторами в пространстве выполняют те же действия, что и на плоскости.

• Сложение — по правилу треугольника или параллелограмма.
• Вычитание — как сложение с противоположным вектором.
• Умножение на число k: вектор k·a сонаправлен с a при k > 0 и противоположно направлен при k < 0, а его длина равна |k|·|a|.

Компланарные векторы

Векторы называют компланарными, если при откладывании от одной точки они лежат в одной плоскости. Любые два вектора всегда компланарны. Три вектора могут как лежать в одной плоскости, так и не лежать.

Признак компланарности. Если вектор c можно представить в виде c = x·a + y·b, где a и b неколлинеарны, то векторы a, b, c компланарны.

Разложение по трём векторам

Любой вектор пространства можно единственным образом разложить по трём некомпланарным векторам.

d = x·a + y·b + z·c

Числа x, y, z называют коэффициентами разложения. Именно это свойство лежит в основе метода координат в пространстве: единичные взаимно перпендикулярные векторы по осям играют роль трёх некомпланарных векторов, а коэффициенты разложения становятся координатами.

Скалярное произведение

Помимо сложения и умножения на число, для векторов вводят скалярное произведение — число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Это свойство активно применяют при доказательстве перпендикулярности прямых в пространстве, не выполняя построений, а лишь работая с векторами.

Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них получается из другого умножением на число. Понятия коллинеарности и компланарности нужно различать: коллинеарность относится к двум векторам на одной прямой, а компланарность — к трём векторам в одной плоскости.

Частые ошибки. Нельзя путать равенство векторов с равенством их длин: два вектора одной длины, но разного направления не равны. Также ошибочно считать любые три вектора компланарными — это верно только для двух. Ещё одна ошибка — смешивать коллинеарность и компланарность.

Кратко о главном

• Вектор в пространстве — направленный отрезок с длиной и направлением.
• Над векторами выполняют сложение, вычитание и умножение на число.
• Векторы компланарны, если лежат в одной плоскости.
• Любой вектор раскладывается по трём некомпланарным векторам единственным образом.