Параллельность в пространстве
📏 Геометрия · 10 класс
Параллельность в стереометрии
В планиметрии две прямые либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве появляется третий случай — скрещивающиеся прямые. Поэтому понятие параллельности нужно уточнить отдельно для прямых и плоскостей. Это одно из главных отличий стереометрии от плоской геометрии, и именно с него начинается изучение взаимного расположения фигур в пространстве.
Взаимное расположение прямых
| Случай | Лежат в одной плоскости? | Есть общая точка? |
|---|---|---|
| Пересекающиеся | Да | Да, одна |
| Параллельные | Да | Нет |
| Скрещивающиеся | Нет | Нет |
Параллельные прямые в пространстве — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются; пример — ребро пола и не связанное с ним ребро потолка комнаты, идущие в разных направлениях.
Полезная теорема: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной. Ещё одно важное свойство — транзитивность: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны и между собой. В пространстве это утверждение не очевидно и требует доказательства, но активно используется в задачах.
Параллельность прямой и плоскости
Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Признак: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и всей плоскости.
Параллельность плоскостей
Две плоскости параллельны, если они не пересекаются. Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
Пример
Куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Рассмотрим прямые.
1) AB и A₁B₁ — параллельны (лежат в одной плоскости
грани AA₁B₁B и не пересекаются).
2) AB и CC₁ — скрещивающиеся: общей плоскости нет,
точек пересечения нет.
3) Плоскость основания ABCD и плоскость A₁B₁C₁D₁ —
параллельны (две пересекающиеся прямые AB и AD
параллельны прямым A₁B₁ и A₁D₁).
Не путай. Скрещивающиеся прямые НЕ параллельны, хотя и не пересекаются. Ключевое различие: параллельные лежат в одной плоскости, скрещивающиеся — нет. Чтобы доказать параллельность плоскостей, нужны именно ДВЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ прямые, одной параллельной прямой недостаточно.
Кратко о главном
- В пространстве прямые бывают пересекающимися, параллельными и скрещивающимися.
- Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
- Прямая параллельна плоскости, если параллельна прямой в этой плоскости.
- Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной параллельны двум прямым другой.
- Параллельность прямых транзитивна: параллельные одной прямой параллельны между собой.