Тела вращения
📏 Геометрия · 10 класс
Что такое тела вращения
Телом вращения называют фигуру, которая получается, если плоскую фигуру вращать вокруг прямой (оси) на полный оборот. Каждая точка фигуры описывает окружность с центром на оси. В школьном курсе изучают три главных тела вращения: цилиндр, конус и шар. Из жизни их легко узнать: банка консервов — это цилиндр, дорожный конус и рожок мороженого — конусы, футбольный мяч — шар.
Цилиндр
Прямой круговой цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. У него два равных круглых основания радиуса R и высота H. Боковая поверхность, если её развернуть, превращается в прямоугольник со сторонами 2πR и H.
Конус
Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. У него одно круглое основание радиуса R, вершина и образующая l — расстояние от вершины до края основания. Высота, радиус и образующая связаны теоремой Пифагора: l² = R² + H².
Шар и сфера
Шар получается вращением круга вокруг диаметра. Важно не путать: сфера — это только поверхность (как оболочка мяча), а шар — сфера вместе со всем, что внутри.
Формулы площадей и объёмов
| Тело | Боковая поверхность | Полная поверхность | Объём |
|---|---|---|---|
| Цилиндр | 2πRH | 2πR(R + H) | πR²H |
| Конус | πRl | πR(R + l) | (1/3)πR²H |
| Шар | — | 4πR² (сфера) | (4/3)πR³ |
Обрати внимание на закономерность: объём конуса ровно втрое меньше объёма цилиндра с теми же радиусом и высотой. Это полезно для самопроверки. Точно так же объём шара можно сравнить с объёмом описанного цилиндра — шар занимает ровно две трети такого цилиндра, это знаменитый результат Архимеда, которым он особенно гордился.
Как не запутаться в формулах
Главная подсказка: если в формуле объёма есть множитель 1/3, значит речь о конусе или пирамиде — у тел с вершиной объём всегда в три раза меньше, чем у соответствующего цилиндра или призмы. Площади поверхностей удобно собирать из частей: полная поверхность цилиндра — это два круга-основания плюс развёрнутый в прямоугольник боковой бок; полная поверхность конуса — один круг-основание плюс боковой сектор. Когда тело «открыто» (например, бак без крышки или ведро), одно из оснований не считают — внимательно читайте условие задачи.
Пример решения
Найдём полную поверхность и объём конуса с радиусом основания R = 3 и высотой H = 4.
1) Находим образующую по Пифагору:
l² = R² + H² = 9 + 16 = 25, значит l = 5.
2) Полная поверхность:
S = πR(R + l) = π·3·(3 + 5) = 24π ≈ 75,4.
3) Объём:
V = (1/3)πR²H = (1/3)·π·9·4 = 12π ≈ 37,7.
Ответ: S = 24π, V = 12π.Частые ошибки. 1) В объёме конуса забывают множитель 1/3 — получают объём цилиндра. 2) В формулу боковой поверхности конуса подставляют высоту H вместо образующей l. 3) Путают сферу (4πR²) и площадь круга (πR²). 4) В объёме шара ставят квадрат вместо куба радиуса.
Кратко о главном
- Тело вращения образуется при вращении плоской фигуры вокруг оси.
- Цилиндр: V = πR²H, полная поверхность 2πR(R+H).
- Конус: V = (1/3)πR²H, в боковой поверхности используется образующая l, причём l² = R² + H².
- Шар: V = (4/3)πR³, площадь сферы 4πR².
- Объём конуса втрое меньше объёма цилиндра при равных R и H.