Условие
Треугольники ABC, A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ расположены так, что точки A, B, C являются серединами отрезков A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC, A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ лежат на одной прямой.
Разбор задания
Номер 635 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- Пусть M, M₁, M₂ — точки пересечения медиан треугольников ABC, A₁B₁C₁, A₂B₂C₂. Тогда MM₁⃗ = ⅓(MA₁⃗ + MB₁⃗ + MC₁⃗) и MM₂⃗ = ⅓(MA₂⃗ + MB₂⃗ + MC₂⃗).
- Так как A — середина A₁A₂, то MA₁⃗ + MA₂⃗ = 2MA⃗; аналогично MB₁⃗ + MB₂⃗ = 2MB⃗, MC₁⃗ + MC₂⃗ = 2MC⃗.
- Складываем: MM₁⃗ + MM₂⃗ = ⅔(MA⃗ + MB⃗ + MC⃗) = ⅔·0⃗ = 0⃗ (M — точка пересечения медиан треугольника ABC).
- Итак, MM₂⃗ = −MM₁⃗: векторы MM₁⃗ и MM₂⃗ коллинеарны и отложены от одной точки M, поэтому M₁, M и M₂ лежат на одной прямой (M — середина M₁M₂).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →