Номер 632 — Геометрия 11 класс

Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и A₁B₁C₁ совпадают, то прямые AA₁, BB₁ и CC₁ параллельны некоторой плоскости.

1. Пусть M — общая точка пересечения медиан. Для точки пересечения медиан сумма векторов, идущих из неё в вершины, равна нулю: MA⃗ + MB⃗ + MC⃗ = 0⃗ и MA₁⃗ + MB₁⃗ + MC₁⃗ = 0⃗.
2. Тогда AA₁⃗ + BB₁⃗ + CC₁⃗ = (MA₁⃗ − MA⃗) + (MB₁⃗ − MB⃗) + (MC₁⃗ − MC⃗) = 0⃗ − 0⃗ = 0⃗.
3. Значит, CC₁⃗ = −AA₁⃗ − BB₁⃗ — вектор CC₁⃗ разложен по AA₁⃗ и BB₁⃗, поэтому три вектора компланарны (если AA₁⃗ и BB₁⃗ коллинеарны, компланарность очевидна). Отложив их от одной точки, получим плоскость, которой параллельны прямые AA₁, BB₁, CC₁.