Условие
В тетраэдре ABCD точки M и N являются соответственно точками пересечения медиан граней ADB и BDC. Докажите, что MN ∥ AC, и найдите отношение длин этих отрезков.
Разбор задания
Номер 634 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- Пусть E — середина ребра BD. Медианы AE (грани ABD) и CE (грани BCD) выходят из общей точки E; M лежит на AE, N — на CE, причём EM = ⅓EA, EN = ⅓EC (точка пересечения медиан делит их 2 : 1 от вершины).
- Тогда MN⃗ = EN⃗ − EM⃗ = ⅓EC⃗ − ⅓EA⃗ = ⅓(EC⃗ − EA⃗) = ⅓AC⃗.
- Векторы MN⃗ и AC⃗ коллинеарны, а точки M, N не лежат на прямой AC (они внутри граней), поэтому MN ∥ AC. Из MN⃗ = ⅓AC⃗ следует MN : AC = 1 : 3.
Ответ
MN ∥ AC; MN : AC = 1 : 3.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →