Условие
При движении прямая a отображается на прямую a₁, а плоскость α — на плоскость α₁. Докажите, что: а) если a ∥ α, то a₁ ∥ α₁; б) если a ⟂ α, то a₁ ⟂ α₁.
Разбор задания
Номер 761 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- а) Прямая a и плоскость α не имеют общих точек. Движение взаимно однозначно, поэтому общая точка прямой a₁ и плоскости α₁ была бы образом общей точки a и α. Значит, a₁ и α₁ общих точек не имеют, то есть a₁ ∥ α₁.
- б) Пусть a пересекает α в точке M и b, c — две прямые плоскости α, проходящие через M. Тогда a ⟂ b и a ⟂ c. При движении M переходит в M₁ = a₁ ∩ α₁, прямые b, c — в прямые b₁, c₁ плоскости α₁, проходящие через M₁, а углы сохраняются (задача 728), поэтому a₁ ⟂ b₁ и a₁ ⟂ c₁. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым плоскости, перпендикулярна плоскости: a₁ ⟂ α₁.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →