Условие
При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β₁. Докажите, что если плоскость β образует с плоскостью α угол φ, то и плоскость β₁ образует с плоскостью α угол φ.
Разбор задания
Номер 762 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Зеркальная симметрия — движение, при котором каждая точка плоскости α остаётся на месте. Если β ∥ α, то и β₁ ∥ α (задача 724), оба угла равны 0°.
- Пусть β пересекает α по прямой c. Тогда β₁ пересекает α по образу прямой c, то есть по той же прямой c. Возьмём точку M ∈ c и проведём в плоскости α луч MA ⟂ c, а в плоскости β — луч MB ⟂ c; угол AMB — линейный угол двугранного угла между β и α, ∠AMB = φ.
- При симметрии точки M и A остаются на месте, B переходит в точку B₁ ∈ β₁, причём MB₁ ⟂ c (углы сохраняются). Значит, ∠AMB₁ — линейный угол между β₁ и α, и ∠AMB₁ = ∠AMB = φ.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →