Номер 763 — Геометрия 11 класс

Докажите, что при параллельном переносе на вектор p⃗: а) плоскость, не параллельная вектору p⃗ и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, параллельная вектору p⃗ или содержащая этот вектор, отображается на себя.

1. При переносе M′N′⃗ = MN⃗ для любых точек M, N (так как MM′⃗ = NN′⃗ = p⃗).
2. а) Возьмём в плоскости β точки A, B, C не на одной прямой; их образы A′, B′, C′ задают плоскость β′, причём A′B′⃗ = AB⃗, A′C′⃗ = AC⃗. Любая точка X ∈ β (AX⃗ = x·AB⃗ + y·AC⃗) переходит в X′ с A′X′⃗ = x·A′B′⃗ + y·A′C′⃗, то есть X′ ∈ β′; аналогично каждая точка β′ — образ точки β. У плоскостей β и β′ одни и те же направляющие векторы, поэтому β′ ∥ β либо β′ = β. Если β′ = β, то A′ ∈ β и вектор AA′⃗ = p⃗ параллелен β — противоречие с условием.
3. б) Если p⃗ ∥ β (или лежит в β), то для любой точки M ∈ β вектор MM′⃗ = p⃗ параллелен β, поэтому M′ ∈ β. Все точки β переходят в точки β, и каждая точка β является образом (точки, полученной переносом на −p⃗). Плоскость отображается на себя.