Номер 765 — Геометрия 11 класс

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD сторона AB основания равна 6√2 см, а боковое ребро MA равно 12 см. Найдите: а) площадь боковой поверхности пирамиды; б) объём пирамиды; в) угол наклона боковой грани к плоскости основания; г) угол между боковым ребром и плоскостью основания; д) скалярное произведение векторов (AB⃗ + AD⃗)·AM⃗; е) площадь сферы, описанной около пирамиды.

1. Пусть O — центр основания, K — середина AB. AC = AB√2 = 12, AO = 6, OK = 3√2. Высота MO = √(144 − 36) = 6√3, апофема MK = √(144 − 18) = √126 = 3√14.
2. а) S_бок = ½·P·MK = ½·24√2·3√14 = 36√28 = 72√7 см².
3. б) V = ⅓·S_осн·MO = ⅓·72·6√3 = 144√3 см³.
4. в) Линейный угол — ∠MKO: tg = MO/OK = 6√3/(3√2) = √6, угол arctg √6 ≈ 67,8°.
5. г) Угол ∠MAO: cos = AO/MA = 6/12 = ½, угол 60°.
6. д) AB⃗ + AD⃗ = AC⃗, поэтому (AB⃗ + AD⃗)·AM⃗ = AC⃗·AM⃗ = 12·12·cos 60° = 72.
7. е) Треугольник MAC равносторонний (MA = MC = AC = 12), поэтому центр описанной сферы — центр этого треугольника, R = 12/√3 = 4√3 см. S = 4πR² = 192π см².