Номер 764 — Геометрия 11 класс

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 6 см, а боковое ребро равно 3 см. а) Найдите площадь сечения призмы плоскостью ABC₁. б) Докажите, что прямая A₁B₁ параллельна плоскости AC₁B. в) Найдите угол, который составляет прямая B₁C с плоскостью ABC. г) Найдите угол между плоскостями AB₁C и ABC. д) Найдите длину вектора BB₁⃗ − BC⃗ − 2A₁A⃗ − C₁C⃗. е) Найдите объём призмы.

1. а) Сечение — равнобедренный треугольник ABC₁ (AC₁ = BC₁ = √(36 + 9) = 3√5). Пусть M — середина AB; CM = 3√3 (высота правильного треугольника), C₁M = √(27 + 9) = 6. S = ½·AB·C₁M = ½·6·6 = 18 см².
2. б) A₁B₁ ∥ AB, а AB лежит в плоскости AC₁B; прямая, параллельная прямой плоскости и не лежащая в ней, параллельна плоскости.
3. в) Проекция B₁C на плоскость ABC — отрезок BC, поэтому искомый угол — ∠B₁CB: tg ∠B₁CB = BB₁/BC = 3/6 = ½, угол arctg ½ ≈ 26,6°.
4. г) Пусть K — середина AC. BK ⟂ AC и B₁K ⟂ AC (по теореме о трёх перпендикулярах), значит ∠B₁KB — линейный угол: tg = BB₁/BK = 3/(3√3) = 1/√3, угол 30°.
5. д) Обозначим u⃗ = BB₁⃗ (вертикальное ребро). Тогда A₁A⃗ = −u⃗, C₁C⃗ = −u⃗ и BB₁⃗ − BC⃗ − 2A₁A⃗ − C₁C⃗ = u⃗ − BC⃗ + 2u⃗ + u⃗ = 4u⃗ − BC⃗. Векторы u⃗ и BC⃗ перпендикулярны: |4u⃗ − BC⃗|² = 16·9 + 36 = 180, длина √180 = 6√5 см.
6. е) V = S_осн·h = (36√3/4)·3 = 27√3 см³.