Номер 766 — Геометрия 11 класс

В правильной треугольной пирамиде DABC высота DO равна 3 см, а боковое ребро DA равно 5 см. Найдите: а) площадь полной поверхности пирамиды; б) объём пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания; г) угол наклона боковой грани к плоскости основания; д) скалярное произведение векторов ½(DB⃗ + DC⃗)·MA⃗, где M — середина ребра BC; е) радиус шара, вписанного в пирамиду.

1. AO = √(25 − 9) = 4 — радиус описанной окружности основания, значит сторона a = AO√3 = 4√3, радиус вписанной окружности OM = 2, апофема DM = √(9 + 4) = √13.
2. а) S_осн = a²√3/4 = 12√3, S_бок = ½·3a·DM = ½·12√3·√13 = 6√39. S_полн = 12√3 + 6√39 ≈ 58,3 см².
3. б) V = ⅓·12√3·3 = 12√3 см³.
4. в) Угол DAO: cos = 4/5, угол arccos 0,8 ≈ 36,9°.
5. г) Линейный угол DMO: tg = DO/OM = 3/2, угол arctg 1,5 ≈ 56,3°.
6. д) ½(DB⃗ + DC⃗) = DM⃗ = DO⃗ + OM⃗. Вектор DO⃗ перпендикулярен MA⃗, а OM⃗ и MA⃗ лежат на одной прямой и направлены противоположно (MA = 6 — высота основания, OM = 2). Поэтому DM⃗·MA⃗ = OM⃗·MA⃗ = −2·6 = −12.
7. е) r = 3V/S_полн = 36√3/(12√3 + 6√39) = 6/(2 + √13) = 6(√13 − 2)/9 = 2(√13 − 2)/3 ≈ 1,07 см.