Условие
Исследуйте взаимное расположение эллипса x²/16 + y²/4 = 1 и: а) окружности радиуса √7 с центром в начале координат; б) окружности радиуса 2 с центром в точке (2; 0).
Разбор задания
Номер 865 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- а) Окружность x² + y² = 7. Вычитая из её уравнения y² = 7 − x² и подставляя: x²/16 + (7 − x²)/4 = 1, x² + 28 − 4x² = 16, x² = 4, x = ±2, y² = 3. Четыре общие точки (±2; ±√3): окружность пересекает эллипс (её радиус √7 лежит между полуосями 2 и 4).
- б) Окружность (x − 2)² + y² = 4, откуда y² = 4x − x². Подставляем: x²/16 + (4x − x²)/4 = 1, x² + 16x − 4x² = 16, 3x² − 16x + 16 = 0, x = 4 или x = 4/3.
- При x = 4: y = 0 — точка (4; 0), в ней кривые касаются (у обеих в этой точке вертикальная касательная x = 4). При x = 4/3: y² = 16/3 − 16/9 = 32/9, y = ±4√2/3 — две точки пересечения (4/3; ±4√2/3).
Ответ
а) пересекаются в четырёх точках (±2; ±√3); б) касаются в точке (4; 0) и пересекаются в точках (4/3; ±4√2/3).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →