Номер 916 — Алгебра 7 класс

(Задача-исследование.) Верно ли, что если p — простое число, большее трёх, то значение выражения p² − 1 кратно 12? 1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах. 2) Разложите многочлен p² − 1 на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4. 3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3. 4) Сделайте вывод.

1. 1) p = 5: 24 = 12 · 2; p = 7: 48 = 12 · 4; p = 11: 120 = 12 · 10.
2. 2) p² − 1 = (p − 1)(p + 1). Простое p > 3 нечётно, поэтому p − 1 и p + 1 — два соседних чётных числа, их произведение делится на 4 (и даже на 8).
3. 3) Из трёх последовательных чисел p − 1, p, p + 1 одно делится на 3; это не p (простое, большее 3), значит, p − 1 или p + 1.
4. 4) Произведение делится на 4 и на 3, то есть на 12. Утверждение верно.