Условие
Точки M, N и P лежат соответственно на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC, причём MN ∥ AC, NP ∥ AB. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если: а) AB = 10 см, AC = 15 см, PN : MN = 2 : 3; б) AM = AP, AB = a, AC = b.
Разбор задания
Номер 555 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 7. Подобные треугольники · страница 48
Решение
- AMNP — параллелограмм (MN ∥ AP, NP ∥ AM), поэтому AM = PN, AP = MN.
- Треугольники BMN и BAC подобны (угол B общий, ∠BMN = ∠BAC как соответственные при MN ∥ AC): BM/BA = MN/AC.
- а) Пусть PN = AM = 2x, MN = AP = 3x. Тогда BM = 10 − 2x, и (10 − 2x)/10 = 3x/15. Отсюда 15(10 − 2x) = 30x, 150 = 60x, x = 2,5. AM = PN = 5 см, MN = AP = 7,5 см.
- б) Пусть AM = AP = x (тогда AMNP — ромб, все стороны равны x). BM = a − x, MN = x: (a − x)/a = x/b, b(a − x) = ax, ab = x(a + b), x = ab/(a + b).
Ответ
а) AM = PN = 5 см, MN = AP = 7,5 см; б) все стороны равны ab/(a + b).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →