Номер 626 — Геометрия 8 класс

Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, если AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ = AD/A₁D₁, где AD и A₁D₁ — биссектрисы треугольников.

1. Через точку D проведём прямую, параллельную AC; она пересечёт AB в точке E. ∠EDA = ∠DAC = ∠EAD, значит треугольник AED равнобедренный: AE = ED.
2. По задаче 556 BE/EA = BD/DC, а по свойству биссектрисы BD/DC = AB/AC. Тогда AB/AE = (BE + EA)/EA = (AB + AC)/AC, откуда AE = AB·AC/(AB + AC).
3. Так же в треугольнике A₁B₁C₁ строим точку E₁: A₁E₁ = E₁D₁ = A₁B₁·A₁C₁/(A₁B₁ + A₁C₁). Обозначим k = AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ = AD/A₁D₁. Тогда AB = k·A₁B₁, AC = k·A₁C₁, и AE = k²·A₁B₁·A₁C₁/(k(A₁B₁ + A₁C₁)) = k·A₁E₁.
4. У треугольников AED и A₁E₁D₁ все стороны пропорциональны с коэффициентом k, значит они подобны по третьему признаку и ∠EAD = ∠E₁A₁D₁. Тогда ∠A = 2∠EAD = 2∠E₁A₁D₁ = ∠A₁.
5. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ имеют равные углы A и A₁ и пропорциональные стороны, их заключающие, — подобны по второму признаку.