Номер 646 — Геометрия 8 класс

В треугольнике ABC угол B прямой. Докажите, что: а) прямая BC является касательной к окружности с центром A радиуса AB; б) прямая AB является касательной к окружности с центром C радиуса CB; в) прямая AC не является касательной к окружностям с центром B и радиусами BA и BC.

1. Прямая касается окружности тогда и только тогда, когда расстояние от центра до прямой равно радиусу.
2. а) AB ⟂ BC, поэтому расстояние от точки A до прямой BC равно AB — радиусу. Значит, BC — касательная (B — точка касания).
3. б) Расстояние от C до прямой AB равно CB (CB ⟂ AB) — радиусу. AB — касательная.
4. в) Расстояние от B до прямой AC равно высоте BH. Перпендикуляр короче наклонных: BH < BA и BH < BC. Расстояние меньше каждого из радиусов, поэтому прямая AC пересекает обе окружности в двух точках и касательной не является.