Условие
Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Разбор задания
Номер 724 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 8. Окружность · страница 81
Решение
- Пусть в четырёхугольнике ABCD выполнено AB + CD = BC + AD. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке O, равноудалённой от прямых AD, AB и BC; окружность с центром O соответствующего радиуса касается сторон AB, BC, AD.
- Предположим, что CD этой окружности не касается. Проведём из C касательную к окружности (отличную от CB), пересекающую прямую AD в точке D₁ ≠ D. Четырёхугольник ABCD₁ описанный, поэтому AB + CD₁ = BC + AD₁.
- Вычтем это равенство из данного: CD − CD₁ = AD − AD₁ = ±DD₁. Получаем CD = CD₁ + DD₁ (или CD₁ = CD + DD₁) — одна сторона треугольника CDD₁ равна сумме двух других, что противоречит неравенству треугольника.
- Значит, D₁ = D и окружность касается стороны CD, то есть вписана в ABCD.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →