Условие
Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Разбор задания
Номер 729 — Геометрия 8 класс
Атанасян Л. С. · § 8. Окружность · страница 82
Решение
- Пусть в четырёхугольнике ABCD ∠A + ∠C = 180°. Проведём окружность через точки A, B, D и покажем, что C лежит на ней.
- Предположим, что C лежит вне окружности. Пусть луч DC пересекает окружность в точке C₁ (между D и C). Четырёхугольник ABC₁D вписанный, поэтому ∠A + ∠BC₁D = 180°, откуда ∠BC₁D = ∠BCD. Но ∠BC₁D — внешний угол треугольника BCC₁, он больше внутреннего угла ∠BCC₁ = ∠BCD. Противоречие.
- Если C лежит внутри окружности, луч DC пересекает окружность в точке C₁ за точкой C; тогда ∠BC₁D = ∠BCD, а ∠BCD — внешний угол треугольника BCC₁ и больше ∠BC₁D. Снова противоречие.
- Значит, C лежит на окружности, проходящей через A, B, D.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 8 класс.
Формулы площадей фигур 8 классФормулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.Теорема ПифагораФормулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.Подобные треугольники: отношение сторон и признакиПодобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.Синус, косинус и тангенс углаТригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.Вписанные и описанные окружностиВписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.Средняя линия треугольника и трапецииСредняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.
Все темы по предмету «Геометрия» за 8 класс →