Номер 641 — Алгебра 9 класс

Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.

1. Высота равностороннего треугольника со стороной a равна a√3/2, поэтому каждый следующий треугольник тоже равносторонний со стороной в √3/2 раза меньше; периметры умножаются на √3/2 — геометрическая прогрессия с P₁ = 24, q = √3/2.
2. P₆ = 24 · (√3/2)⁵ = 24 · 9√3/32 = 27√3/4 ≈ 11,7 (см).