Уравнения и неравенства с модулем
📐 Алгебра · 9 класс
Что такое модуль числа
Модулем (абсолютной величиной) числа называют расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда больше либо равен нулю. Модуль положительного числа и нуля равен самому числу, а модуль отрицательного — противоположному ему числу: модуль (−7) равен 7.
Уравнения с модулем
Уравнение вида «модуль f(x) равен a» решают так: если a отрицательно — решений нет (модуль не бывает отрицательным); если a равно нулю — единственное условие f(x) = 0; если a положительно — выражение под модулем равно либо a, либо −a. То есть один знак модуля порождает два уравнения.
Неравенства с модулем
Здесь важно направление знака. Неравенство «модуль f(x) меньше a» означает, что f(x) зажат между −a и a. Неравенство «модуль f(x) больше a» означает, что f(x) уходит за пределы этого промежутка в обе стороны.
| Запись | Равносильное условие | Геометрия |
|---|---|---|
| модуль f = a (a больше 0) | f = a или f = −a | две точки |
| модуль f меньше a | −a меньше f меньше a | внутри промежутка |
| модуль f больше a | f меньше −a или f больше a | снаружи промежутка |
Разбор примера
Задача: решить неравенство модуль (x − 1) меньше 3
Шаг 1. «Модуль меньше a» раскрывается двойным неравенством:
−3 меньше (x − 1) меньше 3.
Шаг 2. Прибавляем 1 ко всем трём частям:
−3 + 1 меньше x меньше 3 + 1.
Шаг 3. Получаем: −2 меньше x меньше 4.
Ответ: x принадлежит промежутку от −2 до 4 (концы не включены).
Частые ошибки. Главное — не перепутать «меньше» и «больше»: при «меньше» получается один промежуток между −a и a, при «больше» — два луча. Также нельзя забывать про случай отрицательного a в уравнении: тогда решений просто нет.
Геометрический смысл модуля
Поскольку модуль — это расстояние, уравнения и неравенства с ним удобно читать на языке расстояний. Запись «модуль (x − 1) равно 3» означает: найти все точки, удалённые от точки 1 ровно на 3. Таких точек две: −2 и 4. Неравенство «модуль (x − 1) меньше 3» означает все точки, отстоящие от 1 меньше чем на 3, — это весь промежуток между −2 и 4. Такой взгляд помогает решать задачи быстрее, чем формальное раскрытие модуля.
Модуль как ключ к расстоянию между точками
Расстояние между двумя точками a и b на числовой прямой равно модулю их разности: модуль (a − b). Это определение пригодится в геометрии и в задачах с координатами. Например, расстояние между точками −5 и 3 равно модулю (−5 − 3), то есть модулю (−8), что даёт 8. Именно поэтому модуль так важен: он превращает разность чисел в неотрицательную длину, с которой удобно работать.
Кратко о главном
- Модуль — расстояние до нуля, всегда больше либо равен нулю.
- Уравнение модуль f = a при a больше 0 даёт два случая: f = a и f = −a.
- Если a отрицательно, уравнение с модулем решений не имеет.
- Неравенство «модуль меньше a» — это промежуток между −a и a.
- Неравенство «модуль больше a» — это два луча за пределами промежутка.