Геометрическая прогрессия
📐 Алгебра · 9 класс
Что такое геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называют последовательность ненулевых чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число — знаменатель q. Например, в прогрессии 2, 6, 18, 54 знаменатель равен 3: каждый член втрое больше предыдущего.
Знаменатель прогрессии
Знаменатель находят делением любого члена на предыдущий. Если q больше единицы, члены растут; если q между нулём и единицей, убывают; при отрицательном q знаки чередуются. Знаменатель не может быть равен нулю, и первый член тоже всегда ненулевой.
| Формула | Запись | Назначение |
|---|---|---|
| n-й член | bₙ = b₁ · q^(n−1) | найти любой член по номеру |
| Знаменатель | q = bₙ / bₙ₋₁ | найти множитель прогрессии |
| Сумма n членов | Sₙ = b₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) | сложить первые n членов (q ≠ 1) |
| Характеристическое свойство | bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ | квадрат члена равен произведению соседей |
Разбор примера
Задача: дана геометрическая прогрессия b₁ = 3, q = 2.
Найти b₅ и сумму первых пяти членов.
Шаг 1. Находим пятый член:
b₅ = b₁ · q^(5−1) = 3 · 2⁴ = 3 · 16 = 48.
Шаг 2. Применяем формулу суммы (q = 2 не равно 1):
S₅ = b₁·(q⁵ − 1)/(q − 1) = 3·(32 − 1)/(2 − 1).
Шаг 3. Считаем: 3·31/1 = 93.
Ответ: b₅ = 48, S₅ = 93.
Частые ошибки. В показателе степени стоит (n − 1), а не n — это та же ловушка, что и в арифметической прогрессии. Формулой суммы со знаменателем в дроби нельзя пользоваться при q = 1: тогда все члены равны и сумма равна просто b₁·n.
Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической
Главное различие в том, как получают следующий член. В арифметической прогрессии к предыдущему члену прибавляют постоянную разность, а в геометрической — умножают на постоянный знаменатель. Поэтому арифметическая прогрессия растёт равномерно, а геометрическая — всё быстрее и быстрее, если знаменатель больше единицы. Этот лавинообразный рост называют показательным: именно так размножаются бактерии и накапливаются проценты по вкладу.
Убывающая прогрессия и проценты
Если знаменатель между нулём и единицей, члены прогрессии быстро убывают, приближаясь к нулю. Такой случай описывает, например, остаток лекарства в организме, который каждый час уменьшается в одно и то же число раз. Сложные проценты по вкладу — тоже геометрическая прогрессия: сумма каждый год умножается на один и тот же коэффициент роста, поэтому накопления увеличиваются всё стремительнее.
Кратко о главном
- В геометрической прогрессии каждый член получается умножением на знаменатель q.
- Первый член и знаменатель всегда отличны от нуля.
- n-й член: bₙ = b₁ · q в степени (n − 1).
- Сумму первых n членов считают по формуле с (qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1.
- Квадрат любого члена равен произведению двух его соседей.