Числовые последовательности
📐 Алгебра · 9 класс
Что такое числовая последовательность
Числовой последовательностью называют функцию, заданную на множестве натуральных чисел: каждому номеру n соответствует число — член последовательности. Члены записывают по порядку, обозначая их a₁, a₂, a₃ и так далее. Например, последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8 — это правило, по которому n-й член равен 2·n.
Способы задания
Последовательность можно задать формулой n-го члена (прямо вычислить любой член по номеру) или рекуррентно — указав первый член и правило перехода от предыдущего члена к следующему. Особое место занимают прогрессии — последовательности с постоянным шагом.
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называют последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа — разности d. Например, в прогрессии 3, 7, 11, 15 разность равна 4.
| Формула | Запись | Назначение |
|---|---|---|
| n-й член | aₙ = a₁ + (n − 1)·d | найти любой член по номеру |
| Разность | d = aₙ − aₙ₋₁ | найти шаг прогрессии |
| Сумма n членов | Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n | сложить первые n членов |
| Свойство среднего | aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2 | средний член равен полусумме соседних |
Разбор примера
Задача: в арифметической прогрессии a₁ = 5, d = 3.
Найти a₁₀ и сумму первых десяти членов.
Шаг 1. Находим десятый член:
a₁₀ = a₁ + (10 − 1)·d = 5 + 9·3 = 5 + 27 = 32.
Шаг 2. Применяем формулу суммы:
S₁₀ = (a₁ + a₁₀)/2 · 10 = (5 + 32)/2 · 10.
Шаг 3. Считаем: (37/2)·10 = 18,5·10 = 185.
Ответ: a₁₀ = 32, S₁₀ = 185.
Частые ошибки. В формуле n-го члена умножают на (n − 1), а не на n — забытая единица сдвигает весь расчёт. При вычислении суммы складывают первый и последний члены, а не первый и второй.
Возрастающие и убывающие прогрессии
Знак разности d полностью определяет характер прогрессии. Если d больше нуля, члены растут, и прогрессия возрастающая. Если d меньше нуля, члены уменьшаются — прогрессия убывающая. При d равном нулю все члены одинаковы. Это удобно использовать в текстовых задачах: например, если вклад каждый месяц растёт на одну и ту же сумму, это арифметическая прогрессия с положительной разностью, и общую накопленную сумму считают по формуле суммы её членов.
Где применяются прогрессии
Арифметическая прогрессия моделирует процессы с равномерным изменением: количество мест в ряду зрительного зала, где каждый следующий ряд на постоянное число мест длиннее, или равномерно растущий пробег спортсмена. Умение быстро находить сумму первых n членов превращает долгое последовательное сложение в один короткий расчёт по формуле, что экономит много времени на экзамене.
Кратко о главном
- Последовательность — функция натурального аргумента; её члены нумеруют по порядку.
- Арифметическая прогрессия растёт прибавлением постоянной разности d.
- n-й член: aₙ = a₁ + (n − 1)·d.
- Сумма первых n членов равна полусумме крайних, умноженной на n.
- Любой член (кроме крайних) равен среднему арифметическому соседей.