Номер 645 — Алгебра 9 класс

(Задача-исследование.) Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию? 1) Сделайте чертёж и введите необходимые обозначения. 2) Какую теорему из курса геометрии можно использовать при ответе на вопрос задачи? 3) Составьте уравнение и решите его. 4) Сформулируйте вывод и выполните проверку.

1. 1) Пусть стороны a, aq, aq² (q > 1), гипотенуза — наибольшая сторона aq². 2) Используем теорему Пифагора.
2. 3) a² + a²q² = a²q⁴, q⁴ − q² − 1 = 0; замена t = q²: t² − t − 1 = 0, t = (1 + √5)/2 (отрицательный корень не подходит), q = √((1 + √5)/2) ≈ 1,27.
3. 4) Вывод: могут — стороны относятся как 1 : q : q², где q² = (1 + √5)/2. Проверка: 1 + q² = 1 + (1 + √5)/2 = (3 + √5)/2 = ((1 + √5)/2)² = q⁴.