Квадратный трёхчлен

Что такое квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида «a·x² + b·x + c», где a не равно нулю. Это левая часть квадратного уравнения, но рассматриваемая как самостоятельное выражение. Числа a, b и c называют коэффициентами: a — старший, b — средний, c — свободный член.

Корни трёхчлена

Корнями трёхчлена называют те значения x, при которых трёхчлен обращается в ноль. Их находят по дискриминанту: D = b² − 4·a·c. Если D больше нуля — два корня, если равен нулю — один, если меньше — корней нет. Число корней напрямую определяет возможность разложения на множители.

Разложение на множители

Если у трёхчлена есть корни x1 и x2, то его раскладывают по формуле «a·x² + b·x + c равно a·(x − x1)·(x − x2)». При одном корне множители совпадают. Если корней нет, на линейные множители разложить нельзя.

Дискриминант	Корни	Разложение
D больше 0	x1, x2	a·(x − x1)·(x − x2)
D = 0	один корень x0	a·(x − x0)²
D меньше 0	нет	не раскладывается на линейные множители

Разбор примера

Задача: разложить на множители трёхчлен 2·x² − 10·x + 12 Шаг 1. Находим дискриминант: D = (−10)² − 4·2·12 = 100 − 96 = 4, корень из D = 2. Шаг 2. Находим корни: x1 = (10 − 2)/(2·2) = 8/4 = 2; x2 = (10 + 2)/(2·2) = 12/4 = 3. Шаг 3. Записываем разложение с множителем a = 2: 2·(x − 2)·(x − 3). Ответ: 2·x² − 10·x + 12 = 2·(x − 2)·(x − 3).

Частые ошибки. Часто забывают вынести старший коэффициент a: запись (x − 2)·(x − 3) даёт x² − 5·x + 6, а это не равно исходному трёхчлену. Множитель a обязателен. Ещё путают знаки в скобках — в формуле стоит минус корень: (x − x1), а не (x + x1).

Зачем нужно раскладывать трёхчлен

Разложение квадратного трёхчлена на множители — не самоцель, а инструмент. Чаще всего оно нужно для сокращения дробно-рациональных выражений: если в числителе и знаменателе встречается одинаковый множитель вида (x − x1), его можно убрать. Также разложение помогает решать уравнения: произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а это сразу даёт корни. Поэтому навык быстро раскладывать трёхчлен пригодится во многих темах алгебры.

Связь с теоремой Виета

Находить корни для разложения удобно по теореме Виета, когда трёхчлен приведённый. Достаточно подобрать два числа с нужными суммой и произведением — и разложение готово. Например, для трёхчлена x² − 5·x + 6 числа 2 и 3 дают в сумме 5 и в произведении 6, поэтому он раскладывается как (x − 2)·(x − 3). Дискриминант же остаётся универсальным способом, который работает при любых, даже дробных, коэффициентах.

Кратко о главном

• Квадратный трёхчлен — выражение a·x² + b·x + c со старшим коэффициентом a ≠ 0.
• Корни ищут по дискриминанту D = b² − 4·a·c.
• Разложение на множители: a·(x − x1)·(x − x2).
• При D = 0 множитель один и берётся в квадрат, при D меньше 0 разложения нет.
• Нельзя забывать о множителе a и о знаке «минус» перед корнями в скобках.