Степени с целым показателем
📐 Алгебра · 9 класс
Степень с целым показателем
Со степенью с натуральным показателем всё просто: это произведение одинаковых множителей. В девятом классе понятие расширяют на нулевой и отрицательный показатели, чтобы свойства степеней работали для всех целых чисел. Основание при этом считают отличным от нуля.
Нулевой и отрицательный показатель
Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице. Отрицательная степень означает деление: число в степени −n равно единице, делённой на это число в степени n. Например, 2 в степени −3 равно одной восьмой. Так степень с показателем −n превращается в дробь.
| Свойство | Запись словами | Пример |
|---|---|---|
| Произведение степеней | показатели складывают | a³ · a² = a⁵ |
| Частное степеней | показатели вычитают | a⁵ : a² = a³ |
| Степень степени | показатели перемножают | (a²)³ = a⁶ |
| Нулевой показатель | равно единице | 7⁰ = 1 |
| Отрицательный показатель | переходит в дробь | a⁻ⁿ = 1/aⁿ |
Разбор примера
Задача: вычислить значение выражения 2⁻³ · 2⁵ : 2¹
Шаг 1. Произведение — складываем показатели:
2⁻³ · 2⁵ = 2^(−3 + 5) = 2².
Шаг 2. Частное — вычитаем показатель:
2² : 2¹ = 2^(2 − 1) = 2¹.
Шаг 3. Считаем итог: 2¹ = 2.
Ответ: 2.
Частые ошибки. Отрицательный показатель не делает число отрицательным: 2 в степени −3 равно положительной одной восьмой, а не −8. Также свойства со сложением и вычитанием показателей работают только при одинаковом основании — складывать показатели у 2³ и 3² нельзя.
Степень произведения и частного
Кроме свойств с показателями есть правила для основания. Степень произведения равна произведению степеней: (a·b) в степени n равно a в степени n, умноженному на b в степени n. Степень частного устроена аналогично: каждый множитель дроби возводят в степень по отдельности. Эти правила позволяют, например, мгновенно посчитать (2·3) в степени 2 как 2² · 3², то есть 4·9 = 36, что совпадает с 6² = 36.
Стандартный вид числа
Степени с целым показателем лежат в основе стандартного вида числа — записи вида «число от 1 до 10, умноженное на 10 в некоторой степени». Так удобно записывать очень большие и очень малые величины: масса или размер атома записываются с отрицательной степенью десятки, а астрономические расстояния — с положительной. Например, 0,0007 в стандартном виде равно 7, умноженному на 10 в степени −4. Этот приём широко применяется в физике и химии.
Кратко о главном
- Степень с целым показателем определена для ненулевого основания.
- Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице.
- Отрицательный показатель означает дробь: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
- При умножении показатели складывают, при делении — вычитают, при возведении степени в степень — перемножают.
- Свойства действуют только при одинаковом основании.