Условие
Докажите, что медиану AA₁ треугольника ABC можно вычислить по формуле AA₁ = ½√(2AC² + 2AB² − BC²). Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Разбор задания
Номер 1009 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 11. Соотношения между сторонами и углами · страница 57
Решение
- AA₁⃗ = ½(AB⃗ + AC⃗), поэтому 4AA₁² = AB² + AC² + 2AB⃗·AC⃗ = AB² + AC² + 2AB·AC·cos A.
- По теореме косинусов BC² = AB² + AC² − 2AB·AC·cos A, откуда 2AB·AC·cos A = AB² + AC² − BC². Подставляя: 4AA₁² = 2AB² + 2AC² − BC², AA₁ = ½√(2AB² + 2AC² − BC²).
- Пусть BC = a, CA = b, AB = c и медианы AA₁ = BB₁. Тогда 2b² + 2c² − a² = 2a² + 2c² − b², 3b² = 3a², a = b — треугольник равнобедренный.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →